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1、第5章定性和稳定性理论简介在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincaré,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点
2、,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.5．1稳定性概念考虑微分方程 (5.1)其中函数对和t(-∞,+∞)连续，对满足局部李普希兹条件.设方程(5.1)对初值(t0,x1)存在唯一解，而其它解记作.现在的问题是：当很小时，差的变化是否也很小?本章向量的范数取. 如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性，第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解
3、对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.如果对于任意给定的和都存在，使得只要满足就有对一切tt0成立，则称(5.1)的解是稳定的.否则是不稳定的.假设是稳定的，而且存在，使得只要满足就有则称(5.1)的解是渐近稳定的. 为了简化讨论，通常把解的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记,作如下变量代换.令 (5.2)则 于是在变换(5.2)下，将方程(5.1)化成 (5.3)其中.这样关于(5.1)的解的稳定性问题就化为(5.3)的零解y=O的稳定性问题了.因此，我们可以在
4、下文中只考虑(5.1)的零解x=O的稳定性，即假设，并有如下定义:定义5.1若对任意和，存在，使当时有 (5.4)对所有的成立，则称(5.1)的零解是稳定的.反之是不稳定的.定义5.2若(5.1)的零解是稳定的，且存在δ1>0,使当时有则称(5.1)的零解是渐近稳定的.例1考察系统的零解的稳定性.解对于一切，方程组满足初始条件,的解为对任一，取，则当时，有故该系统的零解是稳定的. 然而，由于所以该系统的零解不是渐近稳定的.例2考察系统的零解的稳定性.解在上，取初值为的解为：其中对任一，取，则当时，有故该系的零解是
5、稳定的.又因为可见该系统的零解是渐近稳定的. 例3考察系统的零解的稳定性. 解方程组以为初值的解为其中. 由于函数et随t的递增而无限地增大.因此,对于任意，不管取得怎样小，只要t取得适当大时，就不能保证小于预先给定的正数，所以该系统的零解是不稳的. 例4考虑常系数线性微分方程组 (5.5)其中,A是n×n阵.证明，若A的所有特征根都具严格负实部，则(5.3)的零解是渐近稳定的. 证明不失一般性，我们取初始时刻,设Φ(t)是(5.5)的标准基本解矩阵，由第3章内容知满足的解可写成
6、 (5.6)由A的所有特征根都具负实部知 (5.7)于是知存在t1>0，使t>t1时.从而对任意，取则当时，由(5.6)有, (5.8)当t∈[0,t1]时,由解对初值的连续相依性,对上述，存在δ1>0，当时,取，综合上面讨论知，当时有,即是稳定的.由(5.7)知对任意有，故是渐近稳定的.5.2李雅普诺夫第二方法上一节我们介绍了稳定性概念,但是据此来判明系统解的稳定性,其应用范围是极其有限的.李雅普诺夫创立了处理稳定性问题的两种方法:第一方法要利用微分方程的级数解,在他之后没有得
7、到大的发展;第二方法是在不求方程解的情况下,借助一个所谓的李雅普诺夫函数和通过微分方程所计算出来的导数的符号性质,就能直接推断出解的稳定性,因此又称为直接法.本节主要介绍李雅普诺夫第二方法.为了便于理解,我们只考虑自治系统,(5.11)假设在上连续,满足局部利普希茨条件,且.为介绍李雅普诺夫基本定理,先引入李雅普诺夫函数概念.定义5.3若函数满足,和都连续,且若存在,使在上,则称是常正(负)的;若在上除外总有,则称是正(负)定的;既不是常正又不是常负的函数
