微分方程稳定性理论简介

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1、第五节微分方程稳定性理论简介这里简单介绍下面将要用到的有关内容：一、一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程（1）右端不显含自变量t，代数方程（2）的实根称为方程（1）的平衡点（或奇点），它也是方程（1）的解（奇解）如果从所有可能的初始条件出发，方程（1）的解都满足（3）则称平衡点是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称是不稳定的（不渐近稳定）。判断平衡点是否稳定通常有两种方法，利用定义即（3）式称间接法，不求方程（1）的解，因而不利用（3）式的方法称直接法，下面介绍直接法。将在做泰勒展开，只取一次项，则方程（1）近似为：（4）（4）称为（1）的近似线性方程。也是（4）的平衡点。关于平

2、衡点的稳定性有如下的结论：若，则是方程（1）、（4）的稳定的平衡点。若，则不是方程（1）、（4）的稳定的平衡点对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）证明，因为（4）的一般解是（5）其中C是由初始条件决定的常数。一、二阶（平面）方程的平衡点和稳定性方程的一般形式可用两个一阶方程表示为（6）右端不显含t，代数方程组（7）的实根称为方程（6）的平衡点。记为如果从所有可能的初始条件出发，方程（6）的解都满足（8）则称平衡点是稳定的（渐近稳定）；否则，称P0是不稳定的（不渐近稳定）。为了用直接法讨论方法方程（6）的平衡点的稳定性，先看线性常系数方程（9）系数矩阵记作并假定A的行列式于是原点是方

3、程（9）的唯一平衡点，它的稳定性由的特征方程的根（特征根）决定，上方程可以写成更加明确的形式：（10）将特征根记作，则（11）方程（9）的解一般有形式（）或（）为任意实数。由定义（8），当全为负数或有负的实部时是稳定的平衡点，反之，当有一个为正数或有正的实部时是不稳定的平衡点微分方程稳定性理论将平衡点分为结点、焦点、鞍点、中心等类型，完全由特征根或相应的取值决定，下表简明地给出了这些结果，表中最后一列指按照定义（8）式得下马看花关于稳定性的结论。表1由特征方程决定的平衡点的类型和稳定性平衡点类型稳定性稳定结点稳定不稳定结点不稳定鞍点不稳定稳定退化结点稳定不稳定退化结点不稳定稳定焦点稳定

4、不稳定焦点不稳定中心不稳定由上表可以看出，根据特征方程的系数的正负很容易判断平衡点的稳定性，准则如下：若（12）则平衡点稳定，若（13）则平衡点不稳定以上是对线性方程（9）的平衡点稳定性的结论，对于一般的非线性方程（6），可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性，在点将和作泰勒展开，只取一次项，得（6）的近似线性方程(14)系数矩阵记作特征方程系数为,显然，点对于方程（14）的稳定性由表1或准则（12）、（13）决定，而且已经证明了如下结论:若方程（14）的特征根不为零或实部不为零，则点对于方程（6）的稳定性与对于近似方程（14）的稳定性相同。这样，点对于方程（6）的稳定性也由准则（12

5、）、（13）决定。第六节种群的相互竞争与相互依存当某个自然环境中只有一种生物的群体（生态学上称为种群）生存时，人们常用Logistic模型来描述这个群数量的演变过程，即(1)x（t）是种群在时刻t的数量，是固有增长率，N是环境资源容许的种群最大数量，在前面我们曾应用过这种模型，由方程（1）可以直接得到，=N是稳定平衡点，即t→∞时x(t)→N，从模型本身的意义看这是明显的结果。如果一个自然环境中有两个或两个以上种群生存，那么它们之间就要存在着或是相互竞争，或是相互依存，或是弱肉强食（食饵与捕食者）的关系。这里将从稳定状态的角度分别讨论这些关系。一、种群的相互竞争当两个种群为了争夺有限的

6、食物来源和生活空间而进行生存竞争时，最常见的结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。人们今天可以看到自然界长期演变成的这样的结局，例如一个小岛上虽然有四种燕子栖息，但是它们的食物来源各不相同，一种只在陆地上觅食，另两种分别在浅水的海滩上和离岸稍远的海中捕鱼，第四种则飞越宽阔的海面到远方攫取海味，每一种燕子在它各自生存环境中的竞争力明显地强于其它几种，这里我们建立一个模型解释类似的现象，并分析产生这种结局的条件。模型建立有甲乙两个种群，当它们独自在一个自然环境中生存时，数量的演变均遵从Logistic规律，记是两个种群的数量，是它们的固有增长率，N1、N2是它

7、们的最大容量，于是对于种群甲有其中因子反映由于甲方有限资源的消耗导致的对它本身增长的阻滞作用，可解释为相对于N1而言单位数量的甲消耗的供养甲的食物量（设食物总量为1）。当两个种群在同一自然环境中生存时，考察由于乙消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响，可以合理地在因子中再减去一项，该项与种群乙的数量（相对于N2而言）成正比，得到种群甲方增长的方程(2)这里的意义是，单位数量乙（相对N2而言）消耗的供养甲的食物量为单位数量甲（相对N1）消耗的供