带有不同余项泰勒公式的应用毕业论

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1、陕西理工学院毕业论文毕业论文题目带有不同余项泰勒公式的应用_学生姓名柴书雅学号1009014056所在院(系)数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业2010级数教1班指导教师李金龙完成地点陕西理工学院2014年5月9日第8页共10页陕西理工学院毕业论文带有不同余项泰勒公式的应用柴书雅（陕西理工学院数计学院数教101，陕西汉中723000）指导老师：李金龙【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用.在现代数学中公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值

2、问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用.在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及进一步的运用。【关键词】泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用1引言泰勒公式是数学分析的一个重要内容，在了解泰勒公式后我们主要是能将其应用。首先给出几种不同余项的泰勒公式，然后重点是根据这几种不同泰勒公式求极限、高阶导数、判断敛散性、证明中值定理、证明不等式、求近似值和误差估计、研究函数极值.2常见几种公式2.1佩皮亚诺型余项的公式【2】若函数在点存在直至阶导数，则有，即.(2)其中是由这些导数构造的一个次多项式，（3）称为函数在点处的多

3、项式，的各项系数称为第8页共10页陕西理工学院毕业论文系数.从上易知与其多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即，.（4）2.2其次是带有拉格朗日型余项的公式【2】若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，至少存在一点，使得（1）2.3柯西型公式【2】若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，，使得（5）其中2.4积分型公式【2】如果函数在含有的某个开区间内具有直到的导数,则当x在内时,可表示为的一个次多项式与一个余项之和:其中3公式的应用：3.1求极限[1]例1求

4、极限第8页共10页陕西理工学院毕业论文解：又，将用公式展开则小结：本题用洛必达法则求解比较复杂，在这里我选用的是带有佩亚诺型的泰勒公式进行求解。3.2求高阶导数[3]例2设，求.分析：这道题若直接求高阶导数比较困难，因此我们考虑在处的麦克劳林展开式.解：　　　　　　（10）　　又在处的麦克劳林展开式为　　（11）　　　　比较（10）（11）中的系数可得，　　　　　，由展开的唯一性，并有公式的各项系数则可得到高阶导数，即.第8页共10页陕西理工学院毕业论文小结：在高阶倒数的求解中能更加直接的借助公式的特殊形式更快更直接的对其进行

5、展开，再对展开的各项进行最基本的导数求解使计算更加的简洁方便.3.3判断敛散性例3[4]讨论级数，的敛散性.解：，于是当时，级数收敛，当时，级数发散.例5讨论无穷积分的敛散性.解：选取，因为，而，由无穷积分的敛散性判别定理知收敛.对于公式在判断数学积分问题中收敛性起到的作用通过以上例子有了具体的说明.数学中的敛散性根据不同的积分形式有不同的方法判断，而公式在很多的积分都有其运用其主要原因就是其能使得式子在经过展开后变成简单的式子更加直观方便的计算.3.4证明中值定理[5]第8页共10页陕西理工学院毕业论文例6设函数在上三阶可导

6、.证明存在一点，使得（1）证明：设存在一个常数，使得（2）这时，我们的问题归为证明：，使得（3）令（4）则.根据定理可知，至少存在一点，使得.即（5）这是关于k的方程，注意到在点处的泰勒公式：（6）其中.比较（5）（6）可得到（3）式.即得证小结：本题是对带有拉格朗日型余项的泰勒公式的应用，其中还应用到了中值定理。3.5利用证明不等式3.5.1证明积分不等式[6]例8、设是上的连续正值函数，且，，证：.证明：将在点展开为一阶展式.小结：本题是利用了积分型泰勒公式,重点是将其放缩.3.5.2证明导数不等式[7]第8页共10页陕西

7、理工学院毕业论文例9、设函数在上二次可微，且，，试证存在一点使.分析：函数在上二次可微，且最小值，所以在内一定存在极值点，该点的导数为，题中可知二次可微，我们可以想到展式，并且是在最小值点处展开.解：不妨设在为在上的最小值点，则，，在处的展开得：，是介于与之间的某个数，当时，，即当时，，即.所以，当时，当时，.终上所述，存在一点使.小结：利用公式证明函数不等式步骤：(1)、构造一个函数，选一个展开点，然后写出在处的带有拉格朗日余项的公式；那么我们该选择哪个点处展开呢？函数在一个区间性质常常可由区间中的一些特殊点来反映，如端点、

8、分点、零点、极值点、最值点、拐点等.此外，区间中的任意点也是分析函数性质不可或缺的点，运用时，就是将这些点中导数信息相对较充分的点选作展开中心.第8页共10页陕西理工学院毕业论文（2）根据所给的最高阶导数的大小，函数的界或三角形不等式对进行放缩.3.6求近似值误差估计[8]例