成考专升本高等数学(二)重点及解析

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1、高等数学（二）重点知识及解析Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：（1）常值函数：（2）幂函数：（3）指数函数：(〉0,（4）对数函数：(〉0,（5）三角函数：，，，（6）反三角函数：，，，二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：是由，这两个个简单函数复合而成.例如：是由，和这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将代入到函数表达式中，函数值即是极限值，即。注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势

2、无关，即。（2）该方法的使用前提是当的时候，而时则不能用此方法。例1：，，，，例2：例3：（非特殊角的三角函数值不用计算出来）2、未定式极限的运算法（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将代入后函数值即是极限值。例1：计算.………未定式，提取公因式12解：原式=例2：计算.………未定式，提取公因式解：原式===（2）对于未定式：分子、分母同时除以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无穷小的这一关系进行计算。例1：计算………未定式，分子分母同时除以n解：原式………无穷大倒数是无穷小例2：计算.………未定式，分子分母同

3、除以解：原式==………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是23、利用等价无穷小的代换求极限（1）定义：设和是同一变化过程中的两个无穷小，如果=1，称与是等价无穷小，记作～.（2）定理：设、、、均为无穷小，又～，～，且存在则=或（3）常用的等价无穷小代换：当时，～,～例1：当时，～2，～例2：极限===………用2等价代换例3：极限==………用等价代换12Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数在点处的导数记作：，或（2）函数在区间（a,b）内的导数记作：，或二、求导公式（必须熟记）（1）（C为常数）（2）（3）（4）（5）（6）（

4、7）（8）例：1、=2、3、=4、5、6、三、导数的四则运算运算公式（设U，V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）（1）（2）特别地（为常数）（3）例1：已知函数，求.解：===例2：已知函数，求和.12解：===所以=（注意：lne=1,ln1=0）例3：已知函数，求.解：===四、复合函数的求导1、方法一：例如求复合函数的导数.（1）首先判断该复合函数是由哪几个简单函数复合而成的.如由和这两个简单函数复合而成（2）用导数公式求出每个简单函数的导数.即=，=2（3）每个简单函数导数的乘

5、积即为复合函数的导数；注意中间变量要用原变量替代回去.∴=2=22、方法二（直接求导法）：复合函数的导数等于构成该复合函数的简单函数导数的乘积。如果对导数公式熟悉，对复合函数的过程清楚，可以不必写出中间变量而直接对复合函数从外往里求导.例1：设函数，求.解：==·=·=例2：设函数，求.解：==·=注意：一个复合函数求几次导，取决于它由几个简单函数复合而成。五、高阶导数1、二阶导数记作：，或我们把二阶和二阶以上的导数称为高阶导数.2、求法：（1）二阶导数就是对一阶导数再求一次导12（2）三阶导数就是对一阶导数求两次导，对二阶导求一次导例1

6、：已知，求.解：∵=，∴=例2：已知，求.解：∵==，∴=2=4即=六、微分的求法：（1）求出函数的导数.（2）再乘以即可.即.例1：已知，求.解：∵====∴=例2：设函数，求.解：∵==∴=12Ⅲ、二元函数的微分学一、多元函数的定义：由两个或两个以上的自变量所构成的函数，称为多元函数。其自变量的变化范围称为定义域，通常记作。例如：二元函数通常记作：，二、二元函数的偏导数1、偏导数的表示方法：（1）设二元函数，则函数在区域D内对和对的偏导数记为：，，；，，（2）设二元函数，则函数在点处对和对的偏导数记为：，，；，，；2、偏导数的求法（1

7、）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.（2）对求偏导时，只要将看成是常量，将看成是变量，直接对求导即可.如果要求函数在点处的偏导数，只要求出上述偏导函数后将和代入即可.例1：已知函数，求和.解：=，=例2：已知函数，求和.解：=，=三、全微分1、全微分公式：函数在点处全微分公式为：2、全微分求法：（1）、先求出两个一阶偏导数和.（2）、然后代入上述公式即可.12例1：设函数，求.解：∵=，=∴例2：设函数，求.解：∵=，=∴四、二阶偏导的表示方法和求法：（1）===……两次都对求偏导（2）===……先对求偏导，再对

8、求偏导（3）====……先对求偏导，再对求偏导（4）===……两次都对求偏导可见二元函数的二阶偏导共四种，它们都是的函数。在求二阶偏导的时候一定要注意对变量的求导次序（写在符号前面的变量先求偏