成考专升本高等数学(二)重点及解析(精简版).pdf

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1、高等数学（二）重点知识及解析（占80分左右）Ⅰ、函数、极限一、基本初等函数(又称简单函数)：ax（1）常值函数：y=c（2）幂函数：y=x（3）指数函数：y=a(a〉0,且a≠1)（4）对数函数：y=logx(a〉0,且a≠1)a（5）三角函数：yx=sin，yx=cos，y=tanx，y=cotx（6）反三角函数：yx=arcsin，yx=arccos，y=arctanx，y=arccotx二、复合函数：要会判断一个复合函数是由哪几个简单函数复合而成的。例如：yx=lncos是由yu=ln，ux=cos这两个个简单函数复合而成.3xv例如：y=arctane是由

2、y=arctanu，ue=和vx=3这三个简单函数复合而成.该部分是后面求导的关键！三、极限的计算1、利用函数连续性求极限（代入法）：对于一般的极限式（即非未定式），只要将x代0入到函数表达式中，函数值即是极限值，即lim()fxfx=()。0xx→0注意：（1）常数极限等于他本身，与自变量的变化趋势无关，即limCC=。（2）该方法的使用前提是当x→x的时候，而x→∞时则不能用此方法。0例1：lim4=4，lim3−=−3，limlg2=lg2，limπ=π，x→−∞x→−1x→∞πx→622xx+−310301+•−例2：lim==−1x→0x++101tan

3、(x−−1)tan(21)例3：lim==tan1（非特殊角的三角函数值不用计算出来）x→2x−−1212、未定式极限的运算法0（1）对于未定式：分子、分母提取公因式，然后消去公因式后，将x代入后函数值即是00极限值。2x−90例1：计算lim.………未定式，提取公因式x→3x−301(3xx−)(3+)解：原式=lim=+lim(x3)=6xx→→33x−32x−+21x0例2：计算lim.………未定式，提取公因式2x→1x−102()x−1(x−1)0解：原式=lim=lim==0x→1()xx−+11()x→1()x+12∞（2）对于未定式：分子、分母同时除

4、以未知量的最高次幂，然后利用无穷大的倒数是无∞穷小的这一关系进行计算。23n−∞例1：计算lim………未定式，分子分母同时除以nn→∞31n+∞32−n202−解：原式==lim=………无穷大倒数是无穷小n→∞1303+3+n2321x−x−∞3例2：计算lim.………未定式，分子分母同除以x32x→∞25xx−+∞321−−xxx230解：原式=lim==0………无穷大倒数是无穷小，因此分子是0分母是2x→∞1522−+3xx3、利用等价无穷小的代换求极限β（1）定义：设α和β是同一变化过程中的两个无穷小，如果lim=1，称β与α是等价α无穷小，记作β～α.''

5、''β'（2）定理：设α、α、β、β均为无穷小，又α～α，β～β，且lim存在α'ββ'''则lim=lim或limα•βα=•limβαα'（3）常用的等价无穷小代换：当x→0时，sinx～x,tanx～x例1：当x→0时，sin2x～2x，tan(3)−x～−3xsin2x2x22例2：极限lim=lim=lim=………sin2x用2x等价代换x→05xx→05xx→055tan3x3x例3：极限lim=lim=lim33=………tan3x用3x等价代换x→0xx→0xx→02Ⅱ、一元函数的微分学一、导数的表示符号（1）函数f()x在点x处的导数记作：0''d

6、yf()x，y或0x=x0dxx=x0（2）函数f()x在区间（a,b）内的导数记作：'dyf'()x，y或dx二、求导公式（必须熟记）'αα'1−（1）()0c=（C为常数）（2）()x=αxx'x'1（3）()ee=（4）(ln)x=x''（5）(sin)x=cosx（6）(cos)x=−sinx'1'1（7）(arcsin)x=（8）(arctan)x=21+x21−x1'3’2'1−⎛⎞π例：1、()x=3x2、()x=x23、sin=0⎜⎟2⎝⎠6'1''⎛⎞−23−'4、π=05、⎜⎟==()x−2x6、x=12⎝⎠x三、导数的四则运算运算公式（设U，

7、V是关于X的函数，求解时把已知题目中的函数代入公式中的U和V即可，代入后用导数公式求解.）'''（1）()uvuv±=±'''''（2）()uvuvuv•=+特别地()Cu=Cu（C为常数）''uu'vu−v（3）()=2vv4'例1：已知函数yx=+3cosx−2，求y.'''4'33解：y=()xx+−3cos()2=43x−sin0x−=43x−sinx2'例2：已知函数f()xxx=ln，求f'()x和f()e.3'22''21解：f()x=()xlnxx+()lnx=2lxxx⋅n+⋅=2lx⋅nxx+x'所以f()e=2lneeeeee⋅+=+=23（

8、注意：ln