根和系数关系知识讲解与练习

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1、韦达定理：对于一元二次方程，如果方程有两个实数根，则说明：（1）定理成立的条件（2）注意公式重的负号与b的符号的区别根系关系的几大用处①验根：不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两根； 例如：已知方程x2-5x+6＝0，下列是它两根的是（）A．3，-2B.-2,3C.-2，-3D.3,2②求代数式的值：在不解方程的情况下，可利用根与系数的关系求关于x1和x2的代数式的值，如； ③求作新方程：已知方程的两个根，可利用根与系数的关系求出一元二次方程的一般式. ④求根及未知数系数：已知方程的一个根，可

2、利用根与系数的关系求出另一个数及未知数系数.（后三种为主）（1）计算代数式的值例若是方程的两个根，试求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．解：由题意，根据根与系数的关系得：(1)(2)(3)(4)说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：，，，，，等等．韦达定理体现了整体思想．（2）构造新方程理论：以两个数为根的一元二次方程是。例解方程组x+y=5           xy=6   解：显然，x，y是方程z2-5z+6＝0①的两根由方程①解得z1=2,z2=3∴原方程组的解为x1=2,y1=3   

3、             x2=3,y2=2显然，此法比代入法要简单得多。（3）定性判断字母系数的取值范围例一个三角形的两边长是方程的两根，第三边长为2，求k的取值范围。解：设此三角形的三边长分别为a、b、c，且a、b为的两根，则c=2由题意知△＝k2-4×2×2≥0，k≥4或k≤-4∴为所求。【典型例题】例1已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值．(1)方程两实根的积为5；(2)方程的两实根满足．分析：(1)由韦达定理即可求之；(2)有两种可能，一是，二是，所以要分类讨论．解：(1)∵方程两实根的积为5∴所以，当时

4、，方程两实根的积为5．(2)由得知：①当时，，所以方程有两相等实数根，故；②当时，，由于，故不合题意，舍去．综上可得，时，方程的两实根满足．说明：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实根的条件，即所求的字母应满足．例2已知是一元二次方程的两个实数根．(1)是否存在实数，使成立？若存在，求出的值；若不存在，请您说明理由．(2)求使的值为整数的实数的整数值．解：(1)假设存在实数，使成立．∵一元二次方程的两个实数根∴，又是一元二次方程的两个实数根∴∴，但．∴不存在实数，使成立．(2)∵∴要使其

5、值是整数，只需能被4整除，故，注意到，要使的值为整数的实数的整数值为．说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．(2)本题综合性较强，要学会对为整数的分析方法．一元二次方程根与系数的关系练习题A组1．一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()A．B．C．D．2．若是方程的两个根，则的值为()A．B．C．D．3．已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()A．B．C．D．4．若是一元二次方程的根，则判别式和

6、完全平方式的关系是()A．B．C．D．大小关系不能确定5．若实数，且满足，则代数式的值为()A．B．C．D．6．如果方程的两根相等，则之间的关系是______7．已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是_______．8．若方程的两根之差为1，则的值是_____．9．设是方程的两实根，是关于的方程的两实根，则=_____，=_____．10．已知实数满足，则=_____，=_____，=_____．11．对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10．您是否同

7、意他的看法？请您说明理由．12．若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值．13．已知关于的一元二次方程．(1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根为，且满足，求的值．14．已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长．(1)取何值时，方程存在两个正实数根？(2)当矩形的对角线长是时，求的值．B组1．已知关于的方程有两个不相等的实数根．(1)求的取值范围；(2)是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由．2．已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11．

8、求证：关于的方程有实数根．3．若是关于的方程的两个实数根，且都大于1．(1)求实数的取值范围；(2)若，求的值．