光定在波原子波回折

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1、付録J　光定在波による原子波の回折157付録　J　光定在波による原子波の回折J．１　レーザー光が作る光定在波にあるレーザー光源から方向へ進行する周波数，波数のレーザー光を考える．このレーザー光の電場は，振幅の揺らぎを無視すると，（J.1）と表わせる．は光源の位置における電場の位相で，レーザーの持つ周波数の揺らぎを表現できるように時間依存性を持たせている．例えば，レーザーの線幅が2π×１[MHz]の場合，はその逆数である160nsの時定数（コヒーレンス時間）で2π程度変化する関数と考える．問題にする光学系のスケールがレーザー光のコヒーレンス長（コヒーレンス時間×光速）より十分短いとすると＊

2、本実験に用いる半導体レーザーの線幅は1MHz程度で，コヒーレンス長は50ｍ程度になる．これは本実験の光学系の寸法（<1m）に比べ十分長い．，ある時刻における電場の位相差は空間的に一様とみなせる．このとき電場は近似的に（J.2）と表せる．以降，電場としてこの表現を採用する．同様に，方向へ進行するレーザー光の電場を，（J.3）と表す．これら対向するレーザー光を重ね合わせてできる電場は（J.4）となる．ここでと定義した．レーザー光を単にミラーで折り返した場合は、、であるので，付録J　光定在波による原子波の回折157（J.5）となる．これは周期がλ/2（）の光定在波を表す．注目すべきことは，例え

3、レーザー光の位相が揺らいでも，定在波の腹と節の位置は揺らがないことである．このことは原子波に対して位置の安定した光格子を生成する上で非常に重要である．対向するレーザー光の周波数が異なる場合は，式（J.4）が（J.6）と書き表せることからわかるように，速度で進行する光定在波となる**右辺右側のcos内にある項は，位置に依存する位相を与えるが，がより十分小さければ，波長の数倍程度の範囲内では一定とみなしてよい．．原子系と光定在波との相互作用を考える際，進行する定在波より静止した定在波の方が扱い易い．よって，対向するレーザー光の周波数が異なる場合は，実験室系Ｓに対して軸方向に速度で移動する座標

4、系Ｓ’（ここでは定在波は静止している）に移って問題を考えることにする．座標系Ｓ’での時空座標をと表すことにすると，ＳとＳ’間の座標変換は以下のローレンツ変換公式に従う：．（J.7）これを（J.4）に代入すると，座標系S’における光定在波の電場表現が得られる：（J.8）ここで，（J.9）と定義した†光の進行方向と同じ向きに速度で移動する座標系でみた光の周波数は，静止系での周波数をとしてで与えられる（縦ドップラー効果）．光の進行方向と逆向きの場合はをに置きかえればよい．．またとする近似を用いた††進行する光定在波の移動距離が，レーザー光のコヒーレント長より十分短いとき，この近似が成り立つ．本

5、研究では，光定在波の進行速度は6mm/s．照射時間は100μsのオーダーなので，定在波の移動距離はわずか１μm程度である．これはコヒーレント長（～50m）に比べ極めて短く，この近似は十分成立している．．が付録J　光定在波による原子波の回折157に比べ十分小さければ（同じ意味だががより十分小さければ），と近似できる：．（J.10）この光定在波は，ミラーを折り返してできる式（J.5）の光定在波とほとんど同じ形をしているが，光定在波の位置が電場の相対位相に依存する点が異なる．特に独立な２台のレーザーを用いて定在波を作った場合，との間には全く時間的相関がないので，光定在波の位置はレーザーのコヒー

6、レンス時間と同じ時定数で揺らぐことになる．これでは原子波に対する安定な回折格子になり得ない．しかし，１台のレーザーから音響光学変調器（AOM：Acousto-OpticModulator）を用いて２本のレーザー光を用意した場合，とには時間的相関ができる：．（J.11）ここで，はAOMでレーザー光が回折する際に生じる位相変化で，AOMの位置と注入するrf波の位相で決まる．また，は，レーザー光を反射させるミラーの位置変化や，電気光学変調器（EOM：Electro-OpticModulator）などによってAOMを通った後のレーザー光に与えられる位相である．は，ミラーの振動や風による光学距離の

7、揺らぎなど制御できない部分と，EOMのように制御できる部分を一般に含む．以下の議論ではは時間的に変動しないとして，これを無視する事にする※つまりAOMへ注入するrf波の位相フリップがなく，AOMがメカニカルに振動していないと仮定する．．式（J.11）を式（J.10）に代入すると（J.12）となる．この光定在波は，式（J.10）の定在波と違ってレーザーの位相揺らぎによって位置が揺らぐことはない．しかし，によっては位置が揺らぎ得る．式（