热传导方程的整体解和爆破问题 毕业论文

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1、****大学013年毕业设计（论文）热传导方程的整体解和爆破问题第1章有关数学物理方程的一些概念1.1数学物理方程的概念数学物理方程通常指物理学、力学、工程技术和其他学科中出现的偏微分方程。例如二阶线性偏微分方程，其一般形式为Lu=i,j=1naij∂2u∂xi∂xj+i=1nbi∂u∂xi+cu=f式中，n代表方程的维数，aij，c，f可以为常数也可以是连续的泛函，aij=aji。数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系

2、。因此，无论在历史上还是在今天的现实世界中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要的作用。1.2数学物理方程的分类数学物理方程的分类方法较多，一般有如下几种：从数学分析的角度有线性、非线性和拟线性之分；从方程有无右端项的角度有齐次和非齐次之分；从数学上三类典型问题的角度有双曲型、抛物型和椭圆型之分，而与之对应的在物理学上又分别称之为波动或振动方程、热传导方程以及位势方程或拉普拉斯方程；从方程的形式角度有一般形式和标准形式方程之分；从未知函数及其导数前面的系数角度有常系数和变

3、系数偏微分方程之分。1.3数学物理方程研究的内容一个实际问题，运用物理规律，经过合理假设、分析、简化得到一个数学模型即偏微分方程，然后对模型进行理论分析，包括解的存在性、唯一性、稳定性，再对问题求解，包括解析解、近似解或数值解，最后结合实际问题进行检验，这些就是数学物理方程的正问题。如果微分方程中的系数、右端项、定解条件、定义域等还含有一些未知的参数，则确定这些参数并求出问题的解的过程称为数学物理方程的反问题。1.4数学物理方程的反问题1.4.1对数学物理方程反问题的研究对数学物理方程中的反问题人们主要关心的是适应性及

4、数值解法的问题。所谓适定性问题就是在数学物理中，存在、唯一且连续依赖于初始数据解的问题。若上述三个条件中的任何一个不满足，则称为不适定的。在理论上主要研究反问****大学013年毕业设计（论文）题的存在性和唯一性，有时也研究稳定性，而在实际应用中，人们的主要兴趣却集中于数值算法问题。由于反问题的类型各式各样，因而研究该问题的方法也变化多端。对于存在性问题研究的主要方法有以下几种：1、反Sturm-Liouriue方法，主要是利用泛函的特征谱方法，见参考文献[]，这是一个比较古老的方法；2、紧性原理方法，首先将一个反问题

5、变换为一个允许参数集合上的最优问题，如果参数集是一个紧的，则连续的价值函数在该集合上达到极值，见参考文献[]；3、积分变换法，用一种特殊的变换将包含在一个偏微分方程中的反问题变成一个等价的较简单的位势问题，见参考文献[]，这种方法也叫做积分几何方法，即将包含在微分方程中的反问题化成一个与之等价的在一条曲线或曲面上的积分问题，通过对曲线或曲面的泛函加上一定条件的限制，再利用Born近似便可得到反问题的存在性。4、非线性分析方法（如不动点理论、压缩映像原理等，见参考文献[]），由于许多实际的反问题都是非线性的，因而非线性方

6、法对研究反问题的存在性往往更为有用；1.4.2研究反问题的前景展望尽管目前已有许多人从不同的角度，采用不同的方法使数学物理方程中的反问题这一领域有了快速发展，但由于它是一门新型的数学分支，因而其中的许多理论还不成体系，甚至有些结果还显得支离破碎。由于许多非线性方程的正解问题都难以解决，因而解决非线性微分方程中的反问题及相应适定性问题就成为摆在现代数学工作者面前更加艰巨的任务。正因如此，关于非线性微分方程反问题的研究文献在国内外也寥寥无几。尽管以目前的数学工具还不能广泛地解决这一问题，但是，这个问题已经引起国内外许多专家

7、、学者们的高度重视。我们坚信，最令人激动人心的时刻终会到来，也许这一天就在不远的将来。****大学013年毕业设计（论文）第2章热传导方程及其定解问题2.1热传导问题的陈述空间如果空间某物体G内各点处的温度不同，则热量就会从温度较高点向温度较低点处流动，这种现象称为热传导。设有一个导热物体，在空间占据区域为G，边界面为∂G，确定该物体内部在任意时刻、任意位置的温度u(x,y,z,t)。2.2热传导模型的建立2.2.1物理规律1）Fourier热传导定律：物体在无穷小的时段dt内流过一个无穷小面积ds的热量dQ，与物体沿

8、曲面法线方向的方向导数∂u∂n成正比，即dQ=-k∂u∂ndsdt，其中k为导热系数，可以是常数也可以是函数，当物体为均匀且各向同性时k为常数，否则为函数，但是k总是取正值，n为曲面ds沿热流方向的法线。2）热量守恒定律：由t1~t2时刻温度升高（降低）的热量Q=t1~t2时刻从边界进入（流出）的热量Q1+热源提供（吸收）的热量Q