分式函数的图像与性质

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1、高一数学选修课系列讲座（一）-----------------分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，，等。二、学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结：的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6）图象

2、：如图所示问题2：的图像是怎样的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？小结：的图像如下：（i）(ii)(iii)(iv)的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二：函数的图像与性质问题3：例4函数的

3、图像是怎样的？单调区间如何？思考：函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？小结：对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：巩固练习：1、若则的最小值是；2、函数的值域是；3、已知内单调递减，则实数的取值范围是；4、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围是；5、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围是；6

4、、已知在区间单调递减，求的取值范围是；7、函数的值域是8、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”．若，则函数在上的“定下界”__________．9、设．（1）当时，求的最小值；（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。10、已知函数的定义域为（为常数）.（1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值。11、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。12、已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1）

5、如果函数在上是减函数,在上是增函数，求实常数的值；（2）设常数，求函数的最大值和最小值。分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，，等。二、学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：由此可以画出函数的图像，如下：单调减区间：；值域：；对称中心：。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【

6、小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质（1）定义域：；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：的图像是怎样的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数

7、的定义域为：；根据单调性定义，可以求出的单调区间增区间：减区间：函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合