菲尔茨奖与流形拓扑学

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1、转载转载菲尔茨奖与流形拓扑学原文地址：[转载]菲尔茨奖与流形拓扑学作者：木鱼转载：菲尔茨奖与流形拓扑学--几何化介绍Mathms2004年6月25日Riemann对几何的认识适用于任何微分流形：我们总可以给微分流形赋予一个Riemann度量，从而研究上面的几何。Klein的观点就不是那么普适了，因为Klein意义下的几何对度量的要求非常特殊，并不是所有的流形上都能有这样的几何。不过二维曲面上都可以有Klein式的几何，这就是Riemann,Klein,Poincaré,Koebe等人所证明的单值化(uniformization)定理的内容。

2、举例子说，在可定向闭曲面里，S2上当然是球面几何，T2上则可赋予欧氏几何，双环面等更复杂的曲面上可以有双曲几何。三维以上就没有这么好运了，Thurston的天才创见就在于：提出了单值化定理在三维情形的类比--Thurston的几何化猜想(geometrizationconjecture)。Thurston本人对Haken流形证明了他的猜想，这已经涵盖了绝大多数情形。但他的证明相当艰深，强烈地依赖于几何直观。Thurston本人只是在Princeton的课堂上讲授这一证明，并将未正式出版的讲义在圈内散发。光直接向他索要讲义的就超过一千人，间接

3、复印的则更多，可见他的工作影响之巨。Thurston后来也曾经想正式发表他的证明。他计划写一系列共7篇文章，第一篇于1981年投出，1986年才得以发表，可见其艰深晦涩。第二篇只有手稿在圈内流传，后面的几篇甚至根本没有出现。Thurston本人曾说，他对三维流形的感觉是写不出来的。这种述而不作的态度引来包括J.P.Serre在内的一些推崇严格论证的数学家的批评。但这并没有妨碍Thurston获得1983年的Fields奖。数学当然需要严格性，但像Thurston这样直觉远超乎常人的天才人物，根本无必要把精力放在琐碎细节的验证上。这些体力活自

4、然有很多人抢着替他干，其中包括许多卓有成就的数学家。像JohnMorgan就曾给出Haken流形的几何化定理的较严格的不完全证明，McMullen以别的方法也给过严格证明。同样的事情也发生在Thurston其余的几个重要定理上。直至今日，他那些未严格证明的定理还成为不少人论文的源泉。需要指出，在几何化猜想之前，Thurston已经因为他在三维流形上的foliation方面的工作获得几何、拓扑方面的最高奖Veblen奖。而且他的文风一直以简洁清晰著称，这使他在圈内获得良好的声誉。所以如果你只是一个初出茅庐的毛头小伙，你就必须做一些非常实实在在

5、的工作以立足；只有当你成为Thurston,Gromov那样的大师时，你才有资格指点江山、勾画蓝图，而把具体工作留给别人去做。Thurston几何化猜想可以直接推出Poincaré猜想，最近对Poincaré猜想的突破就从这里开始。但Thurston工作的重要性并不光是能推出Poincaré猜想。因为Poincaré猜想只是流形分类中遇到的一个特殊问题，而Thurston描述出了对所有三维流形进行分类的大纲。而且他把低维拓扑与古典几何(尤其是双曲几何)、Klein群、李群、复分析、动力系统等许多数学分支联系到了一起。在他之前，低维拓扑虽然也

6、做得很热闹，也有Milnor等大人物涉足其中，但毕竟只是拓扑里一个偏僻的分支，引不起非拓扑学家的兴趣。Thurston等人的工作之后，低维拓扑才迅速在数学里占据了核心地位，引起广泛关注。要想彻底证明Thurston的几何化猜想，传统的几何、拓扑方法已经无能为力了，需要发展新的方法。1982年，RichardHamilton(并非那位特别有名的19世纪爱尔兰数学家SirWilliamRowanHamilton)在中提出了Ricciflow的概念，给几何化猜想带来一丝曙光。所谓Ricciflow，"流动"的是度量。在流形上随便给定一个初始度量，

7、Hamilton让它随时间变化，并用一组偏微分方程来描述这种变化，这便是Ricciflow.Hamilton期望，在特定的初始条件下，随着时间的增长，Ricciflow能够流向比较"好"的度量。二十多年来，Hamilton等人做了大量工作，使Ricciflow发展为微分几何里一种行之有效的方法。1996年，Hamilton被授予Veblen奖，"forhiscontinuingstudyoftheRicciflowandrelatedparabolicequationsforaRiemannianmetric"，与他同时获奖的是中国青年数学

8、家田刚。Hamilton引入Ricciflow的一个非常明确的目标就是证明Thurston的几何化猜想。所以当2002年底，俄国数学家GrishaPerelman宣?#####?