全等三角形题型总结

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1、全等三角形的判定题型类型一、全等三角形的判定1——“边边边”例题、已知：如图，AD＝BC，AC＝BD.试证明：∠CAD＝∠DBC.(答案）证明：连接DC，在△ACD与△BDC中∴△ACD≌△BDC（SSS）∴∠CAD＝∠DBC（全等三角形对应角相等）类型二、全等三角形的判定2——“边角边”例题、已知，如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，并且AE＝（AB＋AD），求证：∠B＋∠D＝180°.(答案）证明：在线段AE上，截取EF＝EB，连接FC，∵CE⊥AB，∴∠CEB＝∠CEF＝90°在△CBE和△CFE中，∴△CBE和△CFE（SAS）∴∠B＝∠CFE∵AE＝（AB

2、＋AD），∴2AE＝AB＋AD∴AD＝2AE－AB∵AE＝AF＋EF，∴AD＝2（AF＋EF）－AB＝2AF＋2EF－AB＝AF＋AF＋EF＋EB－AB＝AF＋AB－AB，即AD＝AF在△AFC和△ADC中∴△AFC≌△ADC（SAS）∴∠AFC＝∠D∵∠AFC＋∠CFE＝180°，∠B＝∠CFE.∴∠AFC＋∠B＝180°，∠B＋∠D＝180°.类型三、全等三角形的判定3——“角边角”例题、已知：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.证明：∵MQ和NR是△MPN的高，∴∠MQN＝∠MRN＝90°，又∵∠1＋∠3＝∠2＋∠4＝90°，∠3＝∠4∴∠1＝

3、∠2在△MPQ和△NHQ中，∴△MPQ≌△NHQ（ASA）∴PM＝HN8类型四、全等三角形的判定4——“角角边”例题、已知Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB于E、F．当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证；当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明.解：图2成立；证明图2：过点作则在△AMD和△DNB中，∴△AMD≌△DNB（AAS）∴DM＝DN∵∠MDE＋∠EDN＝∠NDF＋∠EDN＝90°，∴∠MD

4、E＝∠NDF在△DME与△DNF中，∴△DME≌△DNF（ASA）∴∴可知，∴类型五、直角三角形全等的判定——“HL”下列说法中，正确的画“√”；错误的画“×”，并举出反例画出图形.（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．（）（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等．（）（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等．（）(答案）（1）√；（2）×；在△ABC和△DBC中，AB＝DB，AE和DF是其中一边上的高，AE＝DF（3）×.在△ABC和△ABD中，AB＝AB，AD＝AC，AH为第三边上的高，如下图：1、已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD＝BC

5、，DE＝BF.求证：AB∥DC.(答案与解析）证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC，8∴在Rt△ADE与Rt△CBF中∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）∴AE＝CF，DE＝BF∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE在Rt△CDE与Rt△ABF中，∴Rt△CDE≌Rt△ABF（SAS）∴∠DCE＝∠BAF∴AB∥DC.(点评）从已知条件只能先证出Rt△ADE≌Rt△CBF，从结论又需证Rt△CDE≌Rt△ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目.2、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.（1）

6、求证：AE＝CD；（2）若AC＝12，求BD的长.(答案与解析）（1）证明：∵DB⊥BC，CF⊥AE，∴∠DCB＋∠D＝∠DCB＋∠AEC＝90°．∴∠D＝∠AEC．又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，且BC＝CA，∴△DBC≌△ECA（AAS）．∴AE＝CD．（2）解：由（1）得AE＝CD，AC＝BC，∴△CDB≌△AEC（HL）∴BD＝EC＝BC＝AC，且AC＝12．∴BD＝6．(点评）三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件三角形角平分线的性质三角形

7、三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC的内心为，旁心为，这四个点到△ABC三边所在直线距离相等.角的平分线的性质及判定1、如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.