数值分析第五版习题答案解析

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1、WORD格式编辑整理第一章绪论1、设，x的相对误差为，求的误差。[解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，相对误差为。2、设x的相对误差为2%，求的相对误差。[解]设为x的近似值，则有相对误差为，绝对误差为，从而的误差为，相对误差为。3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：，，，，。[解]有5位有效数字；有2位有效数字；有4位有效数字；有5位有效数字；有2位有效数字。4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中均为第3题所给的数。（1）；[解]；（2）；专业知识分享WORD格式

2、编辑整理[解]；（3）。[解]。5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？[解]由可知，，从而，故。6、设，按递推公式计算到，若取（五位有效数字，）试问计算将有多大误差？[解]令表示的近似值，，则，并且由，可知，，即，从而，专业知识分享WORD格式编辑整理而，所以。7、求方程的两个根，使它至少具有四位有效数字（）[解]由与（五位有效数字）可知，（五位有效数字）。而，只有两位有效数字，不符合题意。但是。8、当N充分大时，怎样求？[解]因为，当N充分大时为两个相近数相减，设，，则，，从而，因此。9、正方形的边长大约为100cm，应怎样测量才

3、能使其面积误差不超过1?[解]由可知，若要求，则，即边长应满足。10、设，假定g是准确的，而对t的测量有秒的误差，证明当t增加时S的绝对误差增加，而相对误差却减少。[证明]因为，，所以得证。专业知识分享WORD格式编辑整理11、序列满足递推关系，若（三位有效数字），计算到时误差有多大？这个计算过程稳定吗？[解]设为的近似值，，则由与可知，，，即，从而，因此计算过程不稳定。12、计算，取，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？，，，。[解]因为，所以对于，，有一位有效数字；对于，，没有有效数字；对于，，有一位有效数字；对于，，没有有效数字。专业知识分享WORD格式

4、编辑整理13、，求的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式计算，求对数时误差有多大？[解]因为（六位有效数字），，所以，。14、试用消元法解方程组，假定只有三位数计算，问结果是否可靠？[解]精确解为。当使用三位数运算时，得到，结果可靠。15、已知三角形面积，其中c为弧度，，且测量a，b，c的误差分别为，证明面积的误差满足。[解]因为，所以。专业知识分享WORD格式编辑整理专业知识分享WORD格式编辑整理第二章插值法（40-42）1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令，证明是n次多项式，它的根是，且。[证明]由可得求证。2、当时，，求的

5、二次插值多项式。[解]。3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。X0.40.50.60.70.8-0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.223144[解]若取，，则，，则，从而。若取，，，则，，，则专业知识分享WORD格式编辑整理，从而。4、给出的函数表，步长，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求近似值时的总误差界。[解]设插值节点为，对应的值为，函数表值为，则由题意可知，，，近似线性插值多项式为，所以总误差为，从而。专业知识分享WORD格式编辑整理5、设，求。[解]。令，则，从而极值点可能为，又因为，，显然，所

6、以。6、设为互异节点，求证：1）；2）；专业知识分享WORD格式编辑整理[解]1）因为左侧是的n阶拉格朗日多项式，所以求证成立。2）设，则左侧是的n阶拉格朗日多项式，令，即得求证。7、设且，求证。[解]见补充题3，其中取即得。8、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求的近似值，要使截断误差不超过，问使用函数表的步长h应取多少？[解]由题意可知，设x使用节点，，进行二次插值，则插值余项为，令，则，从而的极值点为，故，而，要使其不超过，则有，即。专业知识分享WORD格式编辑整理9、若，求及。[解]。。10、如果是m次多项式，记，证明的k阶差分是次多项式，并且（l为正

7、整数）。[证明]对k使用数学归纳法可证。11、证明。[证明]。12、证明。[证明]因为，故得证。专业知识分享WORD格式编辑整理13、证明：。[证明]。14、若有n个不同实根，证明。[证明]由题意可设，故，再由差商的性质1和3可知：，从而得证。15、证明n阶均差有下列性质：1）若，则；2）若，则。[证明]1）。专业知识分享WORD格式编辑整理2）。16、，求，。[解]，。17、证明两点三次埃尔米特插值余项是，并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限。[解]见P30与P33，误差限为。18、XXXXXXXXXX．19、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。[解]

8、设，则，再