数值分析课程第五版课后习题答案.pdf

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1、第一章绪论1、设x>0，x的相对误差为δ，求lnx的误差。****[解]设x>0为x的近似值，则有相对误差为ε(x)=δ，绝对误差为ε(x)=δx，r***1*从而lnx的误差为ε(lnx)=(lnx)′ε(x)=δx=δ，*x**ε(lnx)δ相对误差为ε(lnx)==。r**lnxlnxn2、设x的相对误差为2%，求x的相对误差。****[解]设x为x的近似值，则有相对误差为ε(x)=2%，绝对误差为ε(x)=2%x，rnn*n**n−1**从而x的误差为ε(lnx)=(x)′ε(x)=n(x)2%x=2n%⋅x，*x=x**ε

2、(lnx)相对误差为ε(lnx)==2n%。r*n(x)3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*****x=.11021，x=.0031，x=3856.，x=56.430，x=7×0.1。12345***[解]x=.11021有5位有效数字；x=.00031有2位有效数字；x=3856.有4123**位有效数字；x=56.430有5位有效数字；x=7×0.1有2位有效数字。45****4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中x,x,x,x均为第3题所给1234的

3、数。***（1）x+x+x；124*n****∂f****e(x1+x2+x4)=∑ε(xk)=ε(x1)+ε(x2)+ε(x4)[解]k=1∂xk；1−41−31−3−3=×10+×10+×10=.105×10222***（2）xxx；123*n****∂f**********e(x1x2x3)=∑ε(xk)=(x2x3)ε(x1)+(x1x3)ε(x2)+(x1x2)ε(x3)k=1∂xk[解]1−41−31−3；=(0.031×385.6)×10+(1.1021×385.6)×10+(1.102

4、1×0.031)×10222−3−3−3=0.59768×10+212.48488×10+0.01708255×10−3=213.09964255×10=0.21309964255**（3）x/x。24*n****∂f*1*x2*e(x2/x4)=∑ε(xk)=*ε(x2)+*2ε(x4)k=1∂xkx4(x4)11−30.0311−356.4611−3[解]=××10+××10=××10。2256.4302(56.430)2(56.430)256.4611−3−5=××10≈0.88654×102(56.430)2

5、5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R允许的相对误差是多少？*4*3ε(π(R))*4*33[解]由1%=ε(π(R))=可知，r34*3π(R)3′*4*34*34*3***2**ε(π(R))=1%×π(R)=π(R)ε(R)=4π(R)×ε(R)，333****1***ε(R)11从而ε(R)=1%×R，故ε(R)==1%×=。r*3R330016、设Y=28，按递推公式Y=Y−783(n=1,2,)计算到Y，若取0nn−1100100783≈27.982（五位有效数字，）试问计算Y将有多大误差？100

6、**[解]令Y表示Y的近似值，e(Y)=Y−Y，则e(Y)=0，并且由nnnnn011Y=Y−×27.982，Y=Y−×783可知，nn−1nn−11001001Y−Y=Y−Y−×(27.982−783)，即nnn−1n−1100**1*2e(Y)=e(Y)−×(27.982−783)=e(Y)−×(27.982−783)=，从nn−1n−2100100**而e(Y)=e(Y)−(27.982−783)=783−27.982，10001−3*1−3而783−27.982≤×10，所以ε(Y)=×10。1002227、求方程x−56

7、x+1=0的两个根，使它至少具有四位有效数字（783≈27.982）[解]由x=28±783与783≈27.982（五位有效数字）可知，x=28+783=28+27.982=55.982（五位有效数字）。1而x=28−783=28−27.982=0.018，只有两位有效数字，不符合题意。211−2但是x=28−783===1.7863×10。228+78355.982N+118、当N充分大时，怎样求dx？∫N1+x2N+11[解]因为dx=arctan(N+1)−arctanN，当N充分大时为两个相近数相∫N1+x2减，设α=arc

8、tan(N+1)，β=arctanN，则N+1=tanα，N=tanβ，从而tanα−tanβ(N+1)−N1tan(α−β)===，21+tanαtanβ1+N(N+1)N+N+1N+111因此dx=α−β=arctan。∫N1+x