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时间:2018-11-20
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1、从数学定义谈到数学模型微积分是人类智慧中最伟大的成果。它提供的方法和结果大大地促进了世界文明的发展。从它的诞生到现在已300多年,它不但没有走向衰退,而是影响日益加深。掌握好微积分的思想和方法可使人类受益终身。本文将结合微积分理论探讨数学的思考方式。数学是什么?给数学下定义是一个困难的问题。它就好像是一棵参天大树,深深地扎在我们的现实世界。它有两个主干:一是形——几何,是空间形式的科学,视觉思维占主导,培养直觉能力,培养洞察力;一是数—─代数,数量关系的科学,有序思维占主导,培养逻辑推理能力。如果我们只研究数与形,那是静态的,属于常量数学的范围,这远远不够。我们还必须研究动态的内容,必须研究大
2、小与形状是如何改变的。这就产生了微积分理论。微积分理论的延伸是无穷级数,微分方程,微分几何等。那么,究竟什么是数学呢?19世纪恩格斯给数学下了这样的定义:“数学是关于空间形式和数量关系的科学。”数学的内容大致说来可分初等数学与高等数学两大部分。初等数学中主要包含两部分:几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科,而代数学则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。高等数学含有非常丰富的内容,以大学本科所学为限,它主要包含:解析几何:用代数方法研究几何,其中平面解析几何部分内容已放到中学。线性代数:研究如何解线性方法组及有关的问题。高等代数:研究方程式的求根问题。微积分:研究变速运动及曲
3、边形的求积问题。作为微积分的延伸,物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。概率论与数理统计:研究随机现象,依据数据进行推理。所有这些学科构成高等数学的基础部分,在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。数学的特点有三个:第一是它的抽象性,第二是它的精确性,第三是它的应用的极端广泛性。从中学数学的学习过程中我们已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念,几何中的直线也是一个抽象概念,全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念,几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出,所有这
4、些抽象度更高的概念,都有非常现实的背景。不过,抽象不是数学独有的特性,任何一门科学都具有这一特性。因此,单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于:第一,在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切;第二,数学的抽象是一级一级逐步提高的,它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象;第三,数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验,那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说,不仅数学的概念是抽象的、思辨的,而且数学的方法也是抽象的、思辨的。数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性
5、和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然,数学的严格性不是绝对的,一成不变的,而是相对的,发展着的,这正体现了人类认识逐渐深化的过程。数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的,宇宙之大,粒子之微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物之谜,日用之繁,数学无处不在,凡是出现“量”的地方就少不了用数学,研究量的关系,量的变化,量的变化关系,量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处,而成为它们的得力助手与工具,缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化,更不能由已知数据推出其它数据,因而就减少了科学预见的可能性
6、,或减弱了科学预见的精确度。辨证思维与形式逻辑在任何一门科学中都是必不可少的,对微积分理论的学习尤为重要。在数学中,概念的形成,定理的发现与证明都是两种思维方式结合的结果。片面地强调任何一个方面都会造成损失。而将两种思维方式巧妙地结合在一起,微积分提供了一个精彩的范例。微积分的基础是极限。极限概念揭示了常量与变量(或匀与不匀),有限与无限的矛盾。例如在公式中,等式的两边表示不同的东西,有不同的含义。等式左边体现了无限向有限的转化,变量向常量的转化。而等式的右边表示,有限中包含无限。左边任意固定一个值,都表示右边的一个近似值。所以,等式又是近似与精确的对立统一。毛泽东曾说过:“感觉到了的东西,我
7、们不能立刻理解它,只有理解了的东西才更深刻地感觉它。”对微积分理论的重要概念要多加思考和回味。微积分理论要解决的主要矛盾是常量与变量(或匀与不匀),有限与无限的矛盾。解决方式是通过“细分”实现“变”到“不变”的转化,这个转化过程也伴随着有限与无限的转化。导数和定积分的定义正是这样得到的。这种思考方式是辨证的。辨证方法能帮助我们发现真理。但是发现真理只是认识真理的第一步。下一步是证明真理。要证明我们
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