从数学定义谈到数学模型

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1、从数学定义谈到数学模型微积分是人类智慧中最伟大的成果。它提供的方法和结果大大地促进了世界文明的发展。从它的诞生到现在已300多年，它不但没有走向衰退，而是影响日益加深。掌握好微积分的思想和方法可使人类受益终身。本文将结合微积分理论探讨数学的思考方式。数学是什么？给数学下定义是一个困难的问题。它就好像是一棵参天大树，深深地扎在我们的现实世界。它有两个主干：一是形——几何，是空间形式的科学，视觉思维占主导，培养直觉能力，培养洞察力；一是数—─代数，数量关系的科学，有序思维占主导，培养逻辑推理能力。如果我们只研究数与形，那是静态的，属于常量数学的范围，这远远不够。我们还必须研究动态的内容，必须研究大

2、小与形状是如何改变的。这就产生了微积分理论。微积分理论的延伸是无穷级数，微分方程，微分几何等。那么，究竟什么是数学呢？19世纪恩格斯给数学下了这样的定义：“数学是关于空间形式和数量关系的科学。”数学的内容大致说来可分初等数学与高等数学两大部分。初等数学中主要包含两部分：几何学与代数学。几何学是研究空间形式的学科，而代数学则是研究数量关系的学科。初等数学基本上是常量的数学。高等数学含有非常丰富的内容，以大学本科所学为限，它主要包含：解析几何：用代数方法研究几何，其中平面解析几何部分内容已放到中学。线性代数：研究如何解线性方法组及有关的问题。高等代数：研究方程式的求根问题。微积分：研究变速运动及曲

3、边形的求积问题。作为微积分的延伸，物理类各系还要讲授常微分方程与偏微分方程。概率论与数理统计：研究随机现象，依据数据进行推理。所有这些学科构成高等数学的基础部分，在此基础上建立了高等数学的宏伟大厦。数学的特点有三个：第一是它的抽象性，第二是它的精确性，第三是它的应用的极端广泛性。从中学数学的学习过程中我们已经体会到数学的抽象性了。数本身就是一个抽象概念，几何中的直线也是一个抽象概念，全部数学的概念都具有这一特征。整数的概念，几何图形的概念都属于最原始的数学概念。在原始概念的基础上又形成有理数、无理数、复数、函数、微分、积分、n维空间以至无穷维空间这样一些抽象程度更高的概念。但是需要指出，所有这

4、些抽象度更高的概念，都有非常现实的背景。不过，抽象不是数学独有的特性，任何一门科学都具有这一特性。因此，单是数学概念的抽象性还不足以说尽数学抽象的特点。数学抽象的特点在于：第一，在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其它一切；第二，数学的抽象是一级一级逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其它学科中的一般抽象；第三，数学本身几乎完全周旋于抽象概念和它们的相互关系的圈子之中。如果自然科学家为了证明自己的论断常常求助于实验，那么数学家证明定理只需用推理和计算。这就是说，不仅数学的概念是抽象的、思辨的，而且数学的方法也是抽象的、思辨的。数学的精确性表现在数学定义的准确性、推理的逻辑严格性

5、和数学结论的确定无疑与无可争辩性。这点读者从中学数学就已很好的懂得了。当然，数学的严格性不是绝对的，一成不变的，而是相对的，发展着的，这正体现了人类认识逐渐深化的过程。数学应用的极其广泛性也是它的特点之一。正像已故著名数学家华罗庚教授曾指出的，宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是出现“量”的地方就少不了用数学，研究量的关系，量的变化，量的变化关系，量的关系的变化等现象都少不了数学。数学之为用贯穿到一切科学部门的深处，而成为它们的得力助手与工具，缺少了它就不能准确地刻画出客观事物的变化，更不能由已知数据推出其它数据，因而就减少了科学预见的可能性

6、，或减弱了科学预见的精确度。辨证思维与形式逻辑在任何一门科学中都是必不可少的，对微积分理论的学习尤为重要。在数学中，概念的形成，定理的发现与证明都是两种思维方式结合的结果。片面地强调任何一个方面都会造成损失。而将两种思维方式巧妙地结合在一起，微积分提供了一个精彩的范例。微积分的基础是极限。极限概念揭示了常量与变量（或匀与不匀），有限与无限的矛盾。例如在公式中，等式的两边表示不同的东西，有不同的含义。等式左边体现了无限向有限的转化，变量向常量的转化。而等式的右边表示，有限中包含无限。左边任意固定一个值，都表示右边的一个近似值。所以，等式又是近似与精确的对立统一。毛泽东曾说过：“感觉到了的东西，我

7、们不能立刻理解它，只有理解了的东西才更深刻地感觉它。”对微积分理论的重要概念要多加思考和回味。微积分理论要解决的主要矛盾是常量与变量（或匀与不匀），有限与无限的矛盾。解决方式是通过“细分”实现“变”到“不变”的转化，这个转化过程也伴随着有限与无限的转化。导数和定积分的定义正是这样得到的。这种思考方式是辨证的。辨证方法能帮助我们发现真理。但是发现真理只是认识真理的第一步。下一步是证明真理。要证明我们