2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

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1、2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.(1)若函数在处连续，则（）(A)(B)(C)(D)(2)设函数可导，且则（）(A)(B)(C)(D)(3)函数在点（1,2,0）处沿向量的方向导数为（）(A)12(B)6(C)4(D)2(4)甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3

2、.计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则(A)(B)(C)(D)(5)设为维单位列向量，为阶单位矩阵，则（）(A)不可逆(B)不可逆4(C)不可逆(D)不可逆(6)已知矩阵，，，则（）(A)与相似,与相似(B)与相似,与不相似(C)与不相似,与相似(D)与不相似,与不相似(7)设为随机概率，若,,则的充分必要条件是（）(A)(B)(C)(D)(8)设为来自总体的简单随机样本，记则下列结论正确的是（）(A)服从分布(B)服从分布(C)服从分布(D)服从分布二、填空题：914小题,每小题4分,共

3、24分.(9)已知函数，则(10)微分方程的通解为(11)若曲线积分在区域内与路径无关，则(12)幂级数在区间内的和函数4(13)设矩阵，，，为线性无关的维列向量组，则向量组，，的秩为(14)设随机变量的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数具有2阶连续偏导数，，求，(16)(本题满分10分)求(17)(本题满分10分)已知函数由方程确定，求的极值.(18)(本题满分10分)设函数在区间[

4、0,1]上具有2阶导数，且，，证明：(Ⅰ)方程在区间（0,1）内至少存在一个实根；(Ⅱ)方程在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。(19)(本题满分10分)设薄片型物体S是圆锥面=被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为.记圆锥面与柱面的交线为C.(Ⅰ)求C在平面上的投影曲线的方程；(Ⅱ)求S的质量M.(20)(本题满分11分)设3阶矩阵有3个不同的特征值，且.(Ⅰ)证明；(Ⅱ)若，求方程组的通解.4(21)(本题满分11分)设二次型在正交变换下的标准形为，求的值及一个正交矩阵.(22)(本题满

5、分11分)设随机变来那个为，相互独立，且的概率分布为的概率密度为(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的概率密度.(23)(本题满分11分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的，设n次测量结果相互独立且均服从正态分布.该工程师记录的是n次测量的绝对误差，利用估计.(Ⅰ)求的概率密度；(Ⅱ)利用一阶矩求的矩估计量；(Ⅲ)求的最大似然估计量.4