2016高中自主招生数学模拟试题(卷)与答案

2016高中自主招生数学模拟试题(卷)与答案

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1、唐山市唐山一中自主招生测试题一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.四个实数中,每三个数的和分别为,则这四个实数的积是2.若实数满足,则的值是ABCDE3.如图,三角形的面积为,点、分别在边、上,,且,则三角形面积的最大值是4.若关于的方程有四个实数解,则化简的结果是ACBDFE5.若非零的实数满足等式,则的值是6.如图,在直角三角形中,,是斜边上一动点,,,垂足分别是,当的长最小时,7.多项式被除的余式是8.已和是互不等的实数,三个方程①;②;③中,①②有公共根,②③有公共根,③①有公共根,则9.我们有一个

2、结论:对于任何一个正整数,若是偶数,将其减半;若是奇数,将其乘以加,不断重复这样的过程,经过若干步后,一定可以得到.如正整数,按上述规则变换后,可得一列数:.如果正整数按上述变换后的第个数是(是第个数,可多次出现),则的所有可能值的个数是10.如图的一个无穷数表,其中2014在表中出现的次数是23456…357911…47101316…59131721…611162126…………………二、解答题(本大题5小题,共70分)yxPABOl11.(本题满分12分)已知点,函数的图象是直线,点在上,满足是钝角,试求的取值范围.12.

3、(本题满分12分)已知关于的函数的图象与轴有交点.(1)求的取值范围;(2)若函数图象与轴有两个不同的交点,且.试求的值,并根据图象指出当时,函数的最大值和最小值.AEBCDF13.(本题满分12分)如图,点是三角形外接圆上一点,的延长线交过点的切线于点.若,∥,,,求的长.14.(本题满分16分)如图,点在以为直径的⊙上,过点、作圆的切线交于点,点是的中点,求证:.CABPQO15.(本题满分18分)编号为的张卡片分别拿在甲、乙两人手中.甲将手中的15号卡片给乙后,甲手中卡片编号的平均数增加,乙手中卡片编号的平均数也增加,

4、求原来甲、乙手中各有多少张卡片,并写出一种原来甲手中所持卡片的编号数.试题及解答一、填空题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.四个实数中,每三个数的和分别为,则这四个实数的积是解:这四个实数的和为,所以这四个数分别是,即,其积是.2.若实数满足,则的值是解:去分母得,移项得.设,则方程变为,∴或(舍去).ABCDE由得,所以.3.如图,三角形的面积为,点、分别在边、上,,且,则三角形面积的最大值是解:∵,∴三角形面积的最大值是.4.若关于的方程有四个实数解,则化简的结果是解:显然.若,则方程可变为,方程最多两解,不

5、合题意,所以.方程可化为.当时,方程可化为,有两解,不合题意.当时,,有三解,不合题意.当时,方程有四解,符合题意.故.从而.5.若非零的实数满足等式,则的值是解:若,则,于是;若,则,于是;若且,则由得;由得,矛盾.故且.于是,可令,所以ACBDFE.6.如图,在直角三角形中,,是斜边上一动点,,,垂足分别是,当的长最小时,解:连结,则,所以的长最小时即为的长最小,此时,于是,所以.7.多项式被除的余式是解:,所以余式是.8.已和是互不等的实数,三个方程①;②;③中,①②有公共根,②③有公共根,③①有公共根,则解:由,得,

6、,∴.同理,.∴.又互不相等,如,则①③的公共根,于是,从而,代入①②③有,三式相加得,矛盾.由上述结论可知,①的两根为;②的两根为;③的两根为.由根与系数关系,有,故.9.我们有一个结论:对于任何一个正整数,若是偶数,将其减半;若是奇数,将其乘以加,不断重复这样的过程,经过若干步后,一定可以得到.如正整数,按上述规则变换后,可得一列数:.如果正整数按上述变换后的第个数是(是第个数,可多次出现),则的所有可能值的个数是12416812324641081128212031625解:反推∴的所有可能值的个数是.10.如图的一个无

7、穷数表,其中2014在表中出现的次数是23456…357911…47101316…59131721…611162126…………………解:观察知,表中第行第列的数是.由得,是的正约数,所以有8对,从而在表中出现的次数是.二、解答题(本大题5小题,共70分)11.(本题满分12分)已知点,函数的图象是直线,点在上,满足是钝角,试求的取值范围.解:以为直径作圆,交于点,则点在线段上(不含端点).………4分yxPABOCDl设点,则…………………………6分把(1)代入(2),整理得,,∴,……………………………8分∴.故的取值范围是

8、.……………12分12.(本题满分12分)已知关于的函数的图象与轴有交点.(1)求的取值范围;(2)若函数图象与轴有两个不同的交点,且.试求的值,并根据图象指出当时,函数的最大值和最小值.解:(1)当时,函数为,图象与轴有交点.…………………2分当时,图象与轴有交点的条件是解得.……………

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