第八章向量代数和空间解析几何

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1、第八章向量代数和空间解析几何第八章内容概要与重点难点提示本章由三个部分组成：（1）向量代数包括向量的二要素（模和方向）抽象向量和具体向量的线性运算法则数量积、向量积和混合积的运算；（2）空间曲面（球面，旋转面，锥面，柱面和二次曲面）的图形与方程之间的对应，空间曲线与方程组之间的对应；（3）平面和直线的方程。重点向量运算（线性运算、点乘、叉乘）画出空间曲面曲线的图形求平面和直线的方程本章无特别难的难点考试内容要点讲解一、向量1、定义既有大小又有方向的量称为向量（或者矢量），记为或者，比如位移、速度、加速度等，向量的二要素：（1）大小也叫长度,、模或者范数，记为或者；方向向量箭头的指向或用方向角

2、来刻画。常用的向量有零向量（模为零，方向任意）、单位向量（模为1）、向径(其中为空间直角坐标系的一点)、自由向量（与起讫点无关）。一般无特别说明我们都学的向量都是自由向量。向量是不能比较大小的。抽象的向量用带箭头的线段来表示，具体向量表示为，叫做的横坐标或者在轴上的投影，叫做在轴上的分量。；，，，与同方向的单位向量为。2、向量的运算对于抽象向量（1）加减法（平行四边形法则）做，以为邻边做平行四边形，则对角线构成的向量。（2）数乘规定（为数量）是向量：模；方向是当时与同向，当时与反向，当时。（3）数量积（点积，内积）（结果为数量），式中为向量与的夹角（）。（4）向量积（叉积，外积）的结果是向量

3、：模，为向量与的夹角（）；方向与与都垂直，且、、符合右手系。（5）混合积三个向量、、的运算（结果为数量，在几何上该数的绝对值等于以、、为棱的平行六面体体积）。对于具体向量设，则（1）加减法；（2）数乘；（3）数量积；（4）向量积；（5）混合积，（这里设）。3、常用的结论（1）投影定理；。（2）非零向量。非零向量(或与共线)唯一的使得。非零向量、、共面不全为零的数使得。（3）非零向量、、构成三角形，则；反之不一定成立。（4）以为邻边的平行四边形面积。4、运算性质（1）加减与数乘；；；；。（2）数量积；；；。（3）向量积；；；。注对点积和叉积都没有消去律，如由，且不能推出。（4）混合积，；；；。

4、例题1求同时垂直于向量与轴的单位向量。解：法1设所求向量为，则，。所以。法2取，故。例题2设，与共面，且，求。解：法1令，由与共面，得，解得（1）又，由（1）（2）（3）得到，，所以。法2因为与共面，且，知在的角平分线上，所以也在的角平分线上，设，由，即，得到，所以。例题3（1）设，则。（2）设（）（），（）（），则。解：（1）因为，所以原式。（2）由已知，。两式相减，得，代入方程组第一式，有，把它代入，即，求出，所以。一、空间曲面、曲线的方程定义设有曲面和三元方程，它们满足：，则满足方程；，则不满足方程，那么称曲面为三元方程所表示的曲面，或说三元方程为曲面所对应的方程。1、常见的曲面及其对

5、应的方程（1）球面方程表示球心为、半径为的球面。它的一般式方程为（其中）。（2）平面一般式方程为三元一次方程（不全为零）。（3）旋转曲面将上平面曲线绕轴旋转一周所得到的曲面的方程为；绕轴旋转一周所得到的曲面的方程为（其它情形以此类推）。（4）圆锥面方程（）表示顶点为原点、中心轴为轴、半顶角的圆锥面。（5）柱面方程表示母线平行于轴（因为缺变量）、准线为上平面曲线的柱面。（5）二次曲面（即三元二次方程所表示的曲面）椭球面方程。旋转抛物面；椭圆抛物面；双曲抛物面。（）。单叶双曲；面双叶双曲面。椭圆柱面；抛物柱面（）；双曲柱面。2、空间曲线及所对应的方程（组）（1）一般式方程组在空间表示的图形为曲线

6、（被动的看成两个曲面的交线），叫做曲线的一般式方程。（2）参数式方程组，在空间表示的图形为曲线（把曲线看成动点的轨迹）,叫做曲线的参数式方程。3、空间曲线在坐标面上的投影（1）若，从方程组中消去，得到（它表示母线平行于轴、准线为曲线的投影柱面）。联立得C:就是曲线在面上的投影。（2），则就是曲线在面上的投影。注（1）一般地，在空间坐标系一个三元方程所表示的图形为曲面，两个三元方程（组）所表示的图形为曲线；（2）将方程（或方程组）与它所表示的图形(曲面或者曲线)对应起来并能画出来在多元函数的积分学中尤为重要。例题4下列方程（组）各表示什么图形？（1）；（2）；（3）；（4）。答：（1）它表示球

7、心在、半径为1的下半球面。（2）它表示顶点为、开口向后的旋转抛物面。（3）它表示母线平行于轴、准线为上半圆的半柱面。（4）它表示两个平面和的交线（其实也是所交的直线，可见曲线的一般式方程并不是唯一的）。三、平面、直线及其方程（一）、平面的方程1、平面方程的基本形式（1）点法式经过点且法向量为的平面方程为。(2)一般式在只知道曲面是平面的情况下，其方程为（不全为零）。（3）三点式经过不共面的三点的平面的方程为或