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1、第七章非线性方程求根一、重点内容提要（一）问题简介求单变量函数方程(7.1)的根是指求（实数或复数），使得.称为方程(7.1)的根,也称为函数的零点.若可以分解为其中m为正整数,满足,则是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m>1时,称为m重根.若充分光滑,是方程(7.1)的m重根,则有若在[a,b]上连续且,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得.(二)方程求根的几种常用方法1.二分法设在[a,b]上连续,,则在(a,b)内有根
2、.再设在(a,b)内仅有一个根.令,计算和.若则,结束计算;若,则令,得新的有根区间;若,则令,得新的有根区间.,.再令计算,同上法得出新的有根区间,如此反复进行,可得一有根区间套且.故因此,可作为的近似根,且有误差估计(7.2)2.迭代法将方程式(7.1)等价变形为(7.3)若要求满足则;反之亦然.称为函数的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为(7.4)函数称为迭代函数.如果对任意,由式(7.4)产生的序列有极限则称不动点迭代法(7.4)收敛.定理7.1(
3、不动点存在性定理)设满足以下两个条件:1.对任意有2.存在正常数,使对任意,都有(7.5)则在上存在惟一的不动点.定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设满足定理7.1中的两个条件,则对任意,由(7.4)式得到的迭代序列收敛.到的不动点,并有误差估计式(7.6)和(7.7)定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设为的不动点,在的某个邻域连续,且,则迭代法(7.4)局部收敛.收敛阶的概念设迭代过程(7.4)收敛于方程的根,如果迭代误差当时成产下列渐近关系式(7.8)则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛
4、,p>1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛.定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果在所求根的邻近连续,并且(7.9)则该迭代过程在点的邻近是收敛的,并有(7.10)斯蒂芬森(Steffensen)迭代法当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为(7.11)此法也可写成如下不动点迭代式(7.12)定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理)设为式(7.12)中的不动点,则是的不动点;设存在,,则是的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的.3.牛顿迭代法牛顿迭代法
5、是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为其迭代函数为(7.13)牛顿迭代法的收敛速度当时,容易证明,,,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且(7.14)重根情形的牛顿迭代法当是的m重根时,迭代函数在处的导数,且.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若的重数m知道,则迭代式(7.15)求重根二阶收敛.当m未知时,一定是函数的单重零点,此时迭代式(7.16)也是二阶收敛的.简化牛顿法如下迭代法称为简化牛顿法或平行弦法.牛顿下山法为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材.4.弦截法将牛顿迭代法(7.13)中的用在,处的
6、一阶差商来代替,即可得弦截法(7.17)定理7.6假设在其零点的邻域内具有二阶连续导数,且对任意有,又初值,,则当邻域充分小时,弦截法(7.17)将按阶收敛到.这里p是方程的正根.5.抛物线法弦截法可以理解为用过两点的直线方程的根近似替的根.若已知的三个近似根,,用过的抛物线方程的根近似代替的根,所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法.当在的邻近有三阶连续导数,,则抛物线法局部收敛,且收敛阶为.二、知识结构图表7-1k012345678111.251.251.31251.31251.31251.32041.32
7、4321.51.51.3751.3751.134381.32821.32821.32821.51.251.3751.31251.34381.32821.32041.32431.3263+-+-++--+91.32431.32631.3253+表7-2k012342.52.0820849992.1246700042.1194723872.1200949760.4179150010.0425850050.00051976170.000622589表7-3k01234543.5642375873.3919951683.354124
8、8273.3483333843.3475299030.4357624130.1722424190.0378703410.0057914430.000803481此时已满足误差要求，即（3）由于，故根据定理7.4知方法是线性收敛的，并且有。例7-4对于迭代函数，试讨论：（1）当C为何值时，产
