第二章 概率论复习1

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1、第二章概率论和随机过程复习一、概率论基础1。   概率的定义一个事件A的概率P（A）是对应事件A要发生可能性的数量分配。概率有很多不同的定义，常用的有三种：(1)古典定义：P（A）=NA/N其中N是可能结果的总个数，NA是事件A在其中发生的结果的个数。例1.求抛两个骰子并且决定和为7的概率p。总共有36种可能的结果，所以N=36有6种结果(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2)和(6,1)为所求。所以NA=6，从而p=6/36=1/6。1(2)相对频率定义：P(A)=limnA/nn→∞其中n是实验的次数，nA是A发生的次数例2投硬

2、币在大数量投掷后，硬币的正面在上的可能性在0.5左右，上下两面在上面具有相同的概率。(3)公理化定义：从一定数量的定义概率度量的公理出发，经过推导规则达到概率的有效计算。这些公理包括：对于每一个事件A，有0≤P（A）≤1P（Ω）=1如果A和B是互斥的，则P（AUB）=P（A）+P（B）22条件概率和独立性条件概率：假定事件B已经发生时，事件A发生的条件概率P（A

3、B）可以定义如下：P（A

4、B）=P（AB）/P（B）独立性：如果P（AB）=P（A）P（B），事件A和B叫做相互独立的事件。独立性的概念可以推广到三个或多个事件。例3抛两个骰子知道至少一个骰

5、子的一面是偶数，得到和为8的概率是多少？3方法1：一个骰子是偶数且和为8，另一个骰子必定是偶数。有3个成功的可能结果：(2,6),(4,4)和(6,2)。总结果数为{36-(两个骰子都是奇数)}＝36－33＝27。结果概率是3/27=1/9.方法2A＝{和为8}，B＝{至少一个骰子是偶数}。P(AB)包含所有和为8且至少一个骰子是偶数结果的概率。3个成功的可能结果，P(AB)=3/36=1/12。P(B)=3/4。使用条件概率公式，可得：P（A

6、B）=P（AB）/P（B）=1/12/3/4=1/943全概率公式和贝叶斯定理全概率公式：给定一组互斥事

7、件E1，E2，，…，En，这些事件的并集包括所有可能的结果，同时给任一个任意事件A，那么全概率公式可以表示为：把计算A的概率分解为一些容易计算的概率和贝叶斯定理：称为后验概率公式，是在已知结果发生的情况下，求导致结果的某种原因的可能性的大小。全概率公式：5二.随机变量的数字特征随机变量X是样本点的函数，它的定义域是样本空间Ω，值域是实数集R，即X：ΩR随机变量的数字特征对研究随机变量是很重要的，常用的数字特征有：数学期望、方差、协方差和相关系数。1数学期望：连续情况：E[X]=μx=∫xf(x)dx积分区间从[-∞，∞]离散情况：E[X]=μx=∑k

8、P{x=k}一种统计平均值，简称均值。2方差：D[X]=E[(X-μx)2]=E[X2]-μx2度量随机变量X与其均值E[X]的偏离程度。均方差：方差的开方称为均方差，或标准方差，记为σx二阶矩：连续情况：E[X2]=∫x2f(x)dx积分区间从[-∞，∞]离散情况：E[X2]=∑k2P{x=k}6三几种重要的概率分布10－1分布(伯努利分布）概率分布为：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p称两点分布或（0-1）分布。它描述一次贝努里实验中，成功或失败的概率。2   二项分布P{X=k}=Cnkpk(1-p)n-k,k=0,1,…,n描述n次贝努里

9、实验中事件A出现k次概率。3   几何分布P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…描述在k次贝努里实验中首次出现成功的概率。7几何分布有一个重要的性质-----后无效性：在前n次实验未出现成功的条件下，再经过m次实验（即在n+m次实验中）首次出现成功的概率，等于恰好需要进行m次实验出现首次成功的无条件概率。用式子表达：P{X=n+m

10、X>n}=P{X=m}(试证明之）与过去历史无关的性质称为马尔可夫特性。几何分布在排队论中是非常重要。它可以描述某一任务（或顾客）的服务持续时间。4泊松分布（Poisson）P{X=k}=λke-λ/k!k=0,

11、1,2,…。方差和平方差都等于常数λ泊松分布是最重要的离散型概率分布之一，它作为表述随机现象的一种形式，在计算机性能评价中扮演了重要的角色。在实际系统模型中，一般都要假定任务（或顾客）的到来是泊松分布的。实践也证明：这种假设是有效。二项分布当n→∞，p很小时，即罕见事件次数发生的概率。泊松分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。85  指数分布一种连续型的概率分

12、布，它的概率密度：f（x）=λe-λxx≥0f（x）=0x<0分布函数为：F（x）=1-e-λxx≥0指数分