数学与音乐的巧妙结合

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1、演绎完美——数学与音乐的巧妙结合2500年前的一天，古希腊哲学家毕达哥拉斯外出散步，经过一家铁匠铺，发现里面传出的打铁声响，要比别的铁匠铺更加协调、悦耳。他走进铺子，量了又量铁锤和铁砧的大小,发现了一个规律，音响的和谐与发声体体积的一定比例有关。之后，他又在琴弦上做了许多试验，进一步发现只要按比例去划分一根振动着的弦，就可以产生悦耳的音程。如1:2产生八度，2:3产生五度，3:4产生四度等等。就这样，毕达哥拉斯在世界上第一次发现了音乐和数学的联系。若干世纪以来，音乐和数学一直被联系在一起。从基本的阿拉伯数字到“黄金分割”，音乐中不仅包含了数

2、学中的“数列”、“变换”、等知识，乐谱的书写乃至乐器的制作……无不透着数学的踪影。数学家们研究音乐，音乐家也和数学密切相关。正因如此，越来越多的人开始关注音乐，研究数学与音乐的联系。了解这种关系无论是在生活中聆听音乐感受数学，还是利用数学知识制作音乐都会有意想不到的收获！主要内容基础乐理与数学数学知识在音乐中的综合应用数学家与音乐乐器制作中的数学原理本章主要是讲述乐理知识中的一些数学原理。其中包括乐谱的书写中的一些数学表示方式，如：我国通用的简朴就是用阿拉伯数字来表示的，不仅简单直观而且方便抄写，是目前在中小学音乐教材中最常用的书写方式。基

3、础乐理与数学例：3/4以四分音符为一拍，每小节三拍。我们规定一个全音符=两个二分音符=四个四分音符即：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4一个四分音符=两个八分音符1/4=1/8+1/8总的可以表示为：1=2/2=4/4=1/4+1/4+1/4+1/4=2*（1/8）=4*（1/16）*4音律的产生发展与数学的关系，其中包括中国古代的五度相生律的由来，以及现在普遍采用的十二平均律中的数学原理。在这一章中你会发现，音乐和数学真的脱不了关系，乐律的不断发展与完善可以完全有数学推导得出。除了上一章中所述的数学与音乐理论的关系之外，数

4、学知识在音乐中有很多的综合运用，如指数曲线，周期函数，数学变换，数列等等。数学知识在音乐中的综合运用音乐中的数学变换平移变换对称变换平移变换对称变换上面所介绍的都只是一些小节之间的平移。除此之外，在音乐作品当中的转调（移调）也是一种很普遍的方式，将一首曲子全曲或者某个部分整体上行或者下行几度变成另一个调性的曲子，在音乐中可以给人一种耳目一新的层次感。这也是好多作曲家惯用的手法，其实质就是将曲子整体的平移几度而已。1、2、3、5、8、13………….钢琴键盘上的斐波那契数列菲波那齐数列在音乐中得到普遍的应用，如常见的曲式类型与菲波那齐数列头几个

5、数字相符，它们是简单的一段式、二段式、三段式和五段回旋曲式。大型奏鸣曲式也是三部性结构，如再增加前奏及尾声则又从三发展到五部结构。黄金分割比例与音乐中高潮的位置有密切关系。如果说斐波那契数在钢琴键上的出现是一种巧合,那么等比数列在音乐中的出现就决非偶然了:1、2、3、4、5、6、7、i等音阶就是利用等比数列规定的.来看一下图1,显然这个八度音程被黑键和白键分成了12个半音,并且我们知道下一个C键发出乐音的振动次数(即频率)是第一个C键振动次数的2倍,因为用2来分割,所以这个划分是按照等比数列而作出的.我们容易求出分割比x,显然x满足x^(1

6、2)=2,解这个方程可得x是个无理数,大约是0.1106。于是我们说某个半音的音高是那个音的音高的0.1106倍,而全音的音高是那个音的音高0.1106^2倍.实际上,在吉它中也存在着同样的等比数列[4]。我们分析许多著名的音乐作品，发觉其中高潮的出现多和黄金分割点相接近，位于结构中点偏后的位置：小型曲式中8小节一段式，高潮点约在第5小节左右；16小节二段式，高潮点约在第10小节左右；24小节带再现三段式，高潮点在第15小节左右。莫扎特被称为音乐神童，他在八岁是开始作曲，十岁时写了第一部歌剧。可惜他只三十六岁，据说如果让一个人抄写他的毕生作

7、品，日夜不停的抄写，要抄三十年。莫扎特是一个数学爱好者，据统计他的作中有百分之九十满足黄金分割。后人说莫扎特音乐可以开发智力，或许正是应为他他的作品里透着无数的数学知识把。讲到乐器制作中的数学原理[6]，我们有必要吧第二章中一些知识以及弦振动公式重申一遍。乐器制作中的数学原理音高是由频率决定的振幅决定了声音的强度音色（音质）是由发声物体的材质决定音的长短（时值）是由发声的时间规定C2（16.35赫兹）、C1（32.7赫兹）、C（65.4赫兹）、c（130.8赫兹）、c1（261.6赫兹）、c2（523.2赫兹）、c3（1046.4赫兹）、c

8、4（2092.8赫兹），对于人声就只有C、c、c1、c2假定一根空弦发出的音诗do，则二分之一长度的弦发出的就是高八度的do，8/9长度的弦发出re,64/81长度的先发出mi，