金融数学研究前景展望

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1、金融数学研宄前景展望摘要：简述了金融数学理论的若干前沿问题和金融数学理论未来发展趋势的展望、金融数学理论发展面临的新挑战。关键词：金融数学；美式期权；利率；衍生证券1金融数学的若干前沿问题与展望“B-S模型”对市场做了许多理想的、不切实际的假设以默顿为代表的许多学者对“B-S模型”进行了各种各样的推广。推广主要集中在对模型所依赖于成立的一系列假设条件的修正上。例如允许利率是时间的函数或随机变量（如默顿的随机利率模型）；允许股票在衍生证券的有效期内支付红利；存在交易费用；对于标的资产，也推广到其他种类，如外汇、期

2、货、利率等。这些推广无疑是重要的，但仍有许多问题亟待解决。例如美式期权问题、利率的期限结构问题、市场的波动性与突发事件问题以及市场的不完全性和信息不对称问题等都是当前金融面临的重要研究课题。美式期权、利率的期限结构问题在市场交易的期权大部分是美式期权。对于美式期权的定价，问题要比欧式期权定价困难得多。因为美式期权可以在到期前的任何时刻执行，这就牵涉到期权的最佳执行时间问题。一般情况下期权的最佳执行时间是一个十分复杂的问题，至今还没有得到很好地解决。如果应用偏微分方程的方法来讨论美式期权的定价，对应的偏微分方程的

3、问题将变为“自由边界”问题，在数学上是一个有趣而又困难的问题。一般情况下，美式期权没有精确的解析定价公式，因而只能用数值算法或解析近似解，如蒙特卡罗模拟法、法、有限差方分法等。除了美式期权外，还有很多新型金融产品，其定价也极具挑战性。在“B-S模型”中，利率是给定的常数。实际上，利率的变化是相当复杂的，不同性质、不同到期日的证券，利率的变化规律互不相同，这也就是利率的期限结构(TermStructureofInterestRates)。它通常可以用收益率曲线的形式来表示。利率的期限结构包括三种理论：市场预期理论

4、、市场分割和投资偏好理论、流动性偏好理论。这些理论分别从不同的角度对利率的不规则变化作出了解释。近年来由于利率风险的日益突出，利率期权等利率衍生证券(InterestRateDerivatives)得到了迅速发展，利率的期限结构模型更显重要。利率的期限结构的数学模型不断提出。著名的有Vasicek(1977)，Cox-Ingersoll-Ross(1985)和Hull-White(1990)等短期利率模型以及Ho-Lee(1986)和Heath-Jarrow-MorrtOn(1992)等长期利率模型。比如，Va

5、sicek模型假设短期利率r(t)在风险中性概率下满足Ornstein-Uhlenbeck过程：(dr(t)=a(b-r(t))dt+odwt)其中（a，b，o）为正常数，（wt）为P下的一维标准Brown运动，该模型是第一个单因子模型，许多模型（如Cox-Ingersoll-Ross,Hull-White等模型）都是该模型的推广。现在比较流行的是多因子模型（如高维平方高斯马尔科夫过程）。Ho-Lee和Heath-Jarrow-Morton模型则是直接用长期利率模型来描述利率的期限结构。市场的波动性与突发事件问

6、题以及市场的不完全性和信息不对称问题金融市场的波动现象，一般可以归结为随机变量，以股票价格的波动为例。我们知道，股票价格的波动率是刻划未来股票价格变动的一种最关键的变量。在“B-S模型”及其大部分推广中，股票价格的波动率为常数，这在实际中是不合理的。为更准确地描述股票价格变化的规律，有几种重要的因素必须考虑：股票价格的波动率对股票价格的依赖性；波动率与其它其它随机变量的依赖性；股票价格可能的突然跳动（象1929年或1987年的股票市场崩溃那样的事件）。随机波动率模型能够体现上述某些因素，目前受到极大的重视。这类

7、模型（如Hull-White模型）假设波动率服从某一随机过程，比如几何布朗运动等等。在离散时间情形，自回归条件异方差(AutoregressiveConditionalHeteroskedasticity,ARCH)模型是目前最常用的模型之一。它的种种推广，如GARCH，EGARCH模型等。这些模型都是将原来分析时间序列的方法用来分析波动率。对于重大金融震荡，是否可以研究一种至少能解释其若干特征的严格的定量描述呢？突发事件是“小概率事件”基于传统的平稳随机过程的预测理论完全不适应。传统理论或许能解释市场在95%

8、的时间里发生的情况。然而，如果人们承认突发事件就包括在剩余的5%的话，那么这个理论所描述的图景就没有反映实际情况。突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响，像1997年的东南亚金融危机，就给一些国家造成了巨大的损失。现在有些研究人员认为，描述海岸线形状和宇宙星系模式的分形理论可以解释股票价格如何疯涨与暴跌。分形和多分形的理论是本世纪最杰出的数学成就之一。分形和多分形的目的并不是要准确地预