量子力学chapter3

《量子力学chapter3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、第3章力学量用算符表示§3.1算符的运算规则§3.2厄米算符的本征值与本征函数§3.3共同本征函数§3.4连续谱本征函数的“归一化”（一）算符定义（二）算符的一般特性§1算符的运算规则代表对波函数进行某种运算或变换的符号Ôu=v表示Ô把函数u变成v，Ô就是这种变换的算符。1）du/dx=v，d/dx就是算符，其作用是对函数u微商，故称为微商算符。2）xu=v，x也是算符。它对u作用是使u变成v。由于算符只是一种运算符号，所以它单独存在是没有意义的，仅当它作用于波函数上，对波函数做相应的运算才有意义，例如：（一）算符

2、定义（6）逆算符（7）算符函数（8）转置算符（9）复共轭算符与厄米共轭算符（10）厄米算符（1）线性算符（2）算符之和（3）算符之积（4）对易关系（5）对易括号（二）算符的一般特性（1）线性算符Ô(c1ψ1+c2ψ2)=c1Ôψ1+c2Ôψ2其中c1,c2是任意复常数，ψ1,ψ1是任意两个波函数。满足如下运算规律的算符Ô称为线性算符例如：开方算符、取复共轭就不是线性算符。注意：描写可观测量的力学量算符都是线性算符，这是态叠加原理的反映。（2）算符之和若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ有：(Ô+Û)ψ=Ôψ+Ûψ=

3、Êψ则Ô+Û=Ê称为算符之和。显然，算符求和满足交换率和结合率。例如：体系Hamilton算符注意，算符运算没有相减，因为减可用加来代替。Ô-Û=Ô+（-Û）。很易证明线性算符之和仍为线性算符。（3）算符之积若Ô(Ûψ)=(ÔÛ)ψ=Êψ则ÔÛ=Ê其中ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即ÔÛ≠ÛÔ这是算符与通常数运算规则的唯一不同之处。（4）对易关系若ÔÛ≠ÛÔ，则称Ô与Û不对易。显然二者结果不相等，所以:对易关系量子力学中最基本的对易关系。若算符满足ÔÛ=-ÛÔ，则称Ô和Û反对易。写成通式:但是坐标算

4、符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。注意：当Ô与Û对易，Û与Ê对易，不能推知Ô与Ê对易与否。例如：（5）对易括号为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[Ô,Û]≡ÔÛ-ÛÔ这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式：不难证明对易括号满足如下对易关系：1)[Ô,Û]=-[Û,Ô]2)[Ô,Û+Ê]=[Ô,Û]+[Ô,Ê]3)[Ô,ÛÊ]=[Ô,Û]Ê+Û[Ô,Ê]4)[Ô,[Û,Ê]]+[Û,[Ê,Ô]]+[Ê,[Ô,Û]]=0上面的第四式称为Jacobi恒等式。角动量算

5、符的形式(I)直角坐标系经典力学中，若动量为p，相对点O的位置矢量为r的粒子绕O点的角动量是：量子力学角动量算符为:由于角动量平方算符中含有关于x，y，z偏导数的交叉项,所以直角坐标下角动量平方算符的本征方程不能分离变量,难于求解,为此我们采用球坐标较为方便.角动量平方算符直角坐标与球坐标之间的变换关系xz球坐标ry这表明：r=r(x,y,z)x=x(r,θ,φ)(II)球坐标将（1）式两边分别对xyz求偏导数得：对于任意函数f(r,θ,φ)（其中，r,θ,φ都是x,y,z的函数）则有：将（2）式两边分别对xy

6、z求偏导数得：将（3）式两边分别对xyz求偏导数得：将上面结果代回原式得：则角动量算符在球坐标中的表达式为：（6）逆算符定义:设Ôψ=φ,能够唯一的解出ψ,则可定义算符Ô之逆Ô-1为:Ô-1φ=ψ并不是所有算符都存在逆算符,例如投影算符就不存在逆.2.性质I:若算符Ô之逆Ô-1存在,则ÔÔ-1=Ô-1Ô=I,[Ô,Ô-1]=0证:ψ=Ô-1φ=Ô-1(Ôψ)=Ô-1Ôψ因为ψ是任意函数,所以Ô-1Ô=I成立.同理,ÔÔ-1=I亦成立.3.性质II:若Ô,Û均存在逆算符,则(ÔÛ)-1=Û-1Ô-1例如:设给定一函数

7、F(x),其各阶导数均存在,其幂级数展开收敛则可定义算符Û的函数F(Û)为:（7）算符函数利用波函数标准条件:当

8、x

9、→∞时ψ,→0。由于ψ、φ是任意波函数,所以同理可证:（8）转置算符(9)复共轭算符与厄米共轭算符算符Ô之厄米共轭算符Ô+定义:算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有量换成复共轭.例如:坐标表象中注意：算符的表达式与表象有关。由此可得：转置算符的定义厄米共轭算符亦可写成：可以证明:(ÔÂ)+=Â+Ô+(ÔÂÛ...)+=...Û+Â+Ô+(10)厄米算符1.定义:满足下列关系的算符称为厄米算

10、符.2.性质性质I:两个厄米算符之和仍是厄米算符。即若Ô+=Ô,Û+=Û则(Ô+Û)+=Ô++Û+=(Ô+Û)性质II:两个厄米算符之积一般不是厄米算符,除非二算符对易。因为(ÔÛ)+=Û+Ô+=ÛÔ≠ÔÛ仅当[Ô,Û]=0成立时,(ÔÛ)+=ÔÛ才成立。定理I：体系任何状态ψ下，其厄密算符的平均值必为实数。证：逆定理：在任何状态下，平均值均为实数的算符必为