1 数学建模的概念和方法

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1、教师：冯弢办公室：机械楼N202Email:tfeng@bjtu.edu.cn1.数学建模的概念和步骤1.1.数学建模的概念1.2.数学建模的步骤1.3.一个数学建模实例1.4.数学模型的分类1.5.数学建模竞赛介绍数学建模，简单地讲就是用数学的知识和方法去解决实际问题.一个简单的例：甲乙两地相距750公里，船从甲到乙顺水航行要30小时，从乙到甲逆水航行要50小时，问船速、水速是多少？解：设x为船速，y为水速，有(x+y)30=750(x-y)50=750解之x=20，y=5.1.1数学建模的概念原型:人们在现实世界中关心、研究、或从事生产、管理的实际对象.模型

2、:为了某个特定的目的，将原型的某一部分信息进行简化、提炼而构成的原型替代物.模型可以有很多类型：直观模型、物理模型、思维模型、数学模型等.数学模型：由数字、字母或其他数学符号组成，描述实际对象数量规律的数学公式、图形或算法注：并非所有实际问题都可通过数学建模求解.几个相关的概念现实对象信息数学模型数学模型的解答现实对象的解答求解演绎解释验证现实对象与数学模型的关系基于合理的假设通过数学语言来“描述实际现象”“近似实际问题”建模的目的是解决实际问题,实践是检验模型好坏的唯一标准另一个简单的例：一个笼子装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多

3、少只鸡和多少只兔？解：设笼中有鸡x只，有兔y只，有x+y=82x+4y=22解之x=5，y=3.1.2数学建模的步骤根据问题的背景和建模的目的做出假设用字母表示要求的未知量根据已知的常识列出数学式或图形等求出数学式子的解答验证所得结果的正确性数学建模的步骤：模型准备模型假设模型构成模型验证模型分析模型求解模型应用数学建模的步骤：椅子能在不平的地面上放稳吗？把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了.使用数学的语言，解释这种现象！1.3一个数学建模实例模型假设:1、椅子有四条腿且四条腿一样长

4、，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚连线是正方形(对椅子的假设)2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断，没有像台阶那样的情况，即地面可视为数学上的连续曲面(对地面的假设)3、地面相对平坦，椅子放在地面上总至少可以有三只脚同时着地（对椅子和地面之间关系的假设）模型构成:首先用变量表示“椅子的位置”.正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度这一变量表示“椅子的位置”.ABCD图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中心，坐标轴选为其对角线.模型构成:其次要用数学符号表示“椅脚着地”.椅子在不同位置时椅脚着地与地面的距离

5、不同，所以这个距离是椅子位置变量的函数.虽然椅子有四只脚，因而有四个不同的距离，但由于正方形的对称性，只要设两个距离就行了.记f()为A、C两脚与地面的距离之和；g()为B、D两脚与地面的距离之和.ABCD模型构成:f()：A、C两脚与地面的距离之和；g()：B、D两脚与地面的距离之和.f()0、g()0，都是的连续函数(由假设2)对任意，有f()、g()中至少有一个为0(由假设3)不妨设当=0时，f()>0、g()=0故此本问题归为证明如下数学命题：ABCD数学命题(本问题的数学模型):已知f()、g()都是关于的非负

6、连续函数,如果对任意的，都有f()g()=0，且f(0)>0、g(0)=0，则存在0，使f(0)=g(0)=0.ABCD模型求解:证明：令h()=f()-g(),由于h()是闭区间[0,/2]上的连续函数，必存在0(0,/2),使h(0)=0，即存在0,使f(0)=g(0)=0.由f(0)>0，g(0)=0，有h(0)>0.将椅子旋转90°使得对角线AC与BD互换,有f(/2)=0，g(/2)>0,因此，h(/2)<0ABCD1）按变量的性质分：离散模型确定性模型线性模型单变量模型连续模型随机性模型非线性模型多变量模

7、型2）按时间变化对模型的影响分：静态模型参数定常模型动态模型参数时变模型1.4数学模型的分类3）按模型的应用领域（或所属学科）分:人口模型、交通模型、生态模型、城镇规划模型、水资源模型、再生资源利用模型、污染模型、生物数学模型、医学数学模型、地质数学模型、数量经济学模型、数学社会学模型等.4）按建立模型的数学方法（或所属数学分支）分:初等模型、几何模型、线性代数模型、微分方程模型、图论模型、马氏链模型、运筹学模型等.5）按建模目的分:描述性模型、分析模型、预报模型、优化模型、决策模型、控制模型等.6）按对模型结构的了解程度分:白箱模型：其内在机理相当清楚的学科问

8、题，包括力学、热学、电学