极限是一个重要及概念

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1、极限是一个重要的概念极限可分为数列极限和函数极限，分别定义如下。首先介绍刘徽的"割圆术",设有一半径为1的圆，在只知道直边形的面积计算方法的情况下，要计算其面积。为此，他先作圆的内接正六边形，其面积记为A1，再作内接正十二边形，其面积记为A2，内接二十四边形的面积记为A3，如此将边数加倍，当n无限增大时，An无限接近于圆面积，他计算到3072=6*2的9次方边形，利用不等式An+1

2、）于a，则称数列收敛，a称为数列的极限，或称数列收敛于a，记为liman=a。或：an→a，当n→∞。数列极限的性质：1.唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的；2.改变数列的有限项，不改变数列的极限。几个常用数列的极限：an=c常数列极限为can=1/n极限为0an=x^n绝对值x小于1极限为0函数极限的专业定义:设函数f(x)在点x。的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<

3、x-x。

4、<δ时，对应的函数值f(x)都满足不等式：

5、f(x)-A

6、<ε那么常数A就叫做函数f(x)当x→x

7、。时的极限。函数极限的通俗定义：1、设函数y=f(x)在(a,+∽)内有定义，如果当x→+∽时，函数f(x)无限接近一个确定的常数A，则称A为当x趋于+∽时函数f(x)的极限。记作limf(x)＝A，x→+∽。2、设函数y=f(x)在点a左右近旁都有定义，当x无限趋近a时（记作x→a），函数值无限接近一个确定的常数A，则称A为当x无限趋近a时函数f(x)的极限。记作limf(x)=A，x→a。函数的左右极限：1：如果当x从点x=x0的左侧（即x〈x0）无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的左极限，记作x→x0-limf(

8、x)=a.2:如果当x从点x=x0右侧（即x>x0)无限趋近于点x0时，函数f(x)无限趋近于常数a,就说a是函数f(x)在点x0处的右极限，记作x→x0+limf(x)=a.函数极限的性质：极限的运算法则（或称有关公式）：lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)(limg(x)不等于0)lim(f(x))^n=(limf(x))^n以上limf(x)limg(x)

9、都存在时才成立lim(1+1/x)^x=ex→∞lim(1+1/x)^x=ex→0无穷大与无穷小：两个重要极限：1、limsin(x)／x＝1，x→02、lim（1+1／x）^x＝e，x→0（e≈2.7182818...，无理数）举两个例子说明一下一、0.999999……＝1？谁都知道1/3＝0.333333……，而两边同时乘以3就得到1＝0.999999……，可就是看着别扭，因为左边是一个“有限”的数，右边是“无限”的数。二、“无理数”算是什么数？我们知道，形如根号2这样的数是不可能表示为两个整数比值的样子的，它的每一位都只有在不停计算之后才能确定，且无穷无尽

10、，这种没完没了的数，大大违背人们的思维习惯。结合上面的一些困难，人们迫切需要一种思想方法，来界定和研究这种“没完没了”的数，这就产生了数列极限的思想。类似的根源还在物理中（实际上，从科学发展的历程来看，哲学才是真正的发展动力，但物理起到了无比推动作用），比如瞬时速度的问题。我们知道速度可以用位移差与时间差的比值表示，若时间差趋于零，则此比值就是某时刻的瞬时速度，这就产生了一个问题：趋于无限小的时间差与位移差求比值，就是0÷0，这有意义吗（这个意义是指“分析”意义，因为几何意义颇为直观，就是该点切线斜率）？这也迫使人们去为此开发出合乎理性的解释，极限的思想呼之欲出

11、。真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师，这对我们今天中学教师界而言，不能不说是意味深长的。几个常用数列的极限an=c常数列极限为can=1/n极限为0an=x^n绝对值x小于1极限为0真正现代意义上的极限定义，一般认为是由魏尔斯特拉斯给出的，他当时是一位中学数学教师.所谓“定义”极限，本质上就是给“无限接近”提供一个合乎逻辑的判定方法，和一个规范的描述格式。这样，我们的各种说法，诸如“我们可以根据需要写出根号2的任一接近程度的近似值”，就有了建立在坚实的逻辑基础之上的意义。举两个例子说明一下一、0.999999……＝

12、1？谁都知道1/3＝0.