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1、模拟试卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是次的.2．设，，则= .，= ______.3．已知y=f(x)的均差（差商），，，,那么均差=.4．已知n=4时Newton－Cotes求积公式的系数分别是：则＝.5．解初始值问题的改进的Euler方法是阶方法；6．求解线性代数方程组的高斯—塞德尔迭代公式为，若取,则.7．求方程根的牛顿迭代格式是 .8．是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则=.9．解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是.10．设，则的三次牛顿
2、插值多项式为，其误差估计式为.二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式满足：，，，.2．构造代数精度最高的形式为的求积公式，并求出其代数精度.3．用Newton法求方程在区间内的根,要求.4．用最小二乘法求形如的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.35．用矩阵的直接三角分解法解方程组.6试用数值积分法建立求解初值问题的如下数值求解公式，其中.三、证明题（10分）设对任意的，函数的导数都存在且,对于满足的任意，迭代格式均收敛于的根.参考答案一、填空题1．5；2.8,9;3.；4.；5.二；6.,
3、(0.02，0.22，0.1543)7.;8.;9.;10.二、综合题1．差商表：11122151515575720204272152230781其他方法：设令，，求出a和b.2．取，令公式准确成立，得：,,,.时，公式左右；时，公式左,公式右∴公式的代数精度.3．此方程在区间内只有一个根，而且在区间（2，4）内。设则，，Newton法迭代公式为，取，得。 4．，，.解方程组，其中，解得：所以，.5．解设由矩阵乘法可求出和解下三角方程组有，，，.再解上三角方程组得原方程组的解为，，，.6解初值问题等价于如下形式，取，有，利用辛卜森求积公式可得.三、
4、证明题证明将写成，由于，所以所以迭代格式均收敛于的根.模拟试卷（二）一、填空题（每小题3分，共30分）1．分别用2.718281和2.718282作数的近似值，则其有效位数分别有位和位；2．设，，则= ________，=.3．对于方程组,Jacobi迭代法的迭代矩阵是=________.4．设，则差商=__________，=_______.5．已知,则条件数_________.6．为使两点的数值求积公式具有最高的代数精确度，则其求积基点应为=__________，=__________7．解初始值问题近似解的梯形公式是8．求方程根的弦截法迭代公
5、式是 9.计算积分，取4位有效数字，用梯形公式计算求得的近似值是，用辛卜生公式计算的结果是10．任一非奇异矩阵的条件数＝，其一定大于等于二、综合题（每题10分，共60分）1证明方程在区间有且只有一个根，若利用二分法求其误差不超过近似解，问要迭代多少次？2已知常微分方程的初值问题：试用改进的Euler方法计算的近似值，取步长.3用矩阵的分解法解方程组.4用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据拟合.x1.01.41.82.22.6y0.9310.4730.2970.2240.1685设方程组，试考察解此方程
6、组的雅可比迭代法及高斯－赛德尔迭代法的收敛性。6按幂法求矩阵的按模最大特征值的近似值，取初始向量，迭代两步求得近似值即可.三、证明题（10分）已知求的迭代公式为：证明：对一切，且序列是单调递减的，从而迭代过程收敛.参考答案一、填空题1．6，7；2.9,;3.;4.1,0;5.9;6.,;7.;8.；9.0.4268,0.4309;10.,1二、综合题1解令，则，，且故在区间内仅有一个根.利用二分法求它的误差不超过的近似解，则解此不等式可得所以迭代14次即可.2、解：3解设利用矩阵乘法可求得，，，，，解方程组得，再解方程组得.3解令，则容易得出正规方
7、程组，解得.故所求经验公式为.5解（1）由于，所以在内有根且，故利用雅可比迭代法不收敛.（2）由于所以，故利用高斯－赛德尔迭代法收敛.6解因为，故，且，.从而得，，.三、证明题证明:由于故对一切，，又所以，即序列是单调递减有下界，从而迭代过程收敛.模拟试卷（三）一、填空题（每小题3分，共30分）1．设是真值的近似值，则有位有效位数，相对误差限为；2．若用二分法求方程在区间[1,2]内的根，要求精确到第3位小数，则需要对分次。3．有n个节点的高斯求积公式的代数精度为次.4．设，要使迭代格式局部收敛到，则的取值范围是5．设线性方程组有唯一解，在不考虑系
8、数矩阵扰动的情况下，若方程组右端项的扰动相对误差，就一定能保证解的相对误差；6．给定线性方程组，则解此线性方程组的Jaco
