苏汝铿量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程

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1、第二章波函数和Schroinger方程质子在钯中的波函数http://www.imr.salford.ac.uk/groups/materials%20characterisation/hydrogen%20in%20palladium.shtml薛定谔ERWINSCHRODINGER(1887-1961)§2.1波函数的统计解释波粒二象性的矛盾和解释1.波和粒子的关系波由粒子组成,波是大量粒子运动的表现与减少入射粒子流密度,让粒子近似地一个个从粒子源射出后仍有波动性的实验不符粒子由波组成,粒子=波包§2.1波函数的统计解释反例:i)自由粒子平面波,占据整个空间ii)色散群

2、速度:相速度:必有色散->粒子解体§2.1波函数的统计解释粒子性颗粒性(V)轨道(X)波动性物理量周期分布(VandX)将”粒子分布”视为物理量叠加性->干涉,衍射(V)§2.1波函数的统计解释波函数的统计解释时间为t时刻,粒子出在位置r的几率§2.1波函数的统计解释波函数的讨论的平方可积除了个别孤立奇点外,波函数单值,有界,连续不确定性:i)表示同一个态->归一化ii)相角不确定性(常数相角)经典,态确定性量子:几率性=>可用以计算平均值§2.1波函数的统计解释波函数的讨论平面波多粒子体系的推广§2.1波函数的统计解释动量几率分布函数=>Fourier变换频谱展开§2.1波

3、函数的统计解释可描写体系状态,也可描写体系状态是同一个态,不同自变量§2.1波函数的统计解释代表在态中,出现单色平面波的几率§2.1波函数的统计解释处在的粒子,动量无确定值相当于晶体衍射如若则§2.1波函数的统计解释坐标表象和动量表象§2.2态叠加原理波叠加经典合成的波中有各种成分相干性量子相干性新特点§2.2态叠加原理新特点可能性和概率干涉项的概率性是粒子运动状态概率波自身的干涉,不是不同粒子之间的干涉§2.2态叠加原理波叠加原理的表述a)如果是可能态则也是一个可能态b)在中,体系出现的几率是§2.2态叠加原理讨论a)b)光子偏整态:Malus定律§2.2态叠加原理讨论但任何

4、时候观测到的都是一整个光子,而不是个光子=>概率相干§2.2态叠加原理讨论c)线性叠加d)叠加次序并不重要§2.3薛定谔方程经典力学牛顿方程特点:线性方程二阶全微分方程,只有一个独立变量t唯一性方程系数不含状态参数,有普适性§2.3薛定谔方程量子力学要求:线性方程(态叠加原理的直接要求)系数也不含状态参数t与x,y,z均为变量=>只能是偏微分方程解的唯一性=>两阶正规方程§2.3薛定谔方程量子力学进入方程式,体现微观世界的特点(量子化)->0,过渡到牛顿方程§2.3薛定谔方程建立方程的启示自由粒子已知解=>方程式(不唯一)§2.3薛定谔方程已知解=>方程式(不唯一)§2.3薛定

5、谔方程一般情况:§2.3薛定谔方程说明:a)波动力学的基本假定,表征量子体系特征的量h进入了方程式,薛定谔方程在量子力学中的地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当b)算符形式§2.3薛定谔方程力学量用算符表示两个惯例1)只在直角坐标中适用,因为微商不协变例:二维极坐标下的薛定谔方程§2.3薛定谔方程两个惯例2)将H分成三部分:i)与坐标无关的动量二次式ii)只依赖于坐标的函数iii)§2.3薛定谔方程因为有波函数统计解释,因此概率流守恒定律自动包含在薛定谔方程中§2.3薛定谔方程§2.3薛定谔方程为什么而与t无关?§2.3薛定谔方程定态U=U(r),不显含t§2.3薛定谔方程=>

6、几率流密度变不变?§2.3薛定谔方程本征值方程§2.3薛定谔方程边界条件的讨论:U连续,波函数及其一阶导数连续U不连续,波函数及其一阶导数连续U趋向无穷大(一阶)波函数连续,一阶导数不连续U趋向无穷大(二阶及以上)波函数不连续,一阶导数亦不连续§2.4一维方势阱一维无限深势阱§2.4一维方势阱一维无限深势阱§2.4一维方势阱一维无限深势阱§2.4一维方势阱一维无限深势阱一维方势阱波函数图象一维方势阱波函数图象§2.4一维方势阱思考题:将势能为零的区间放大或者缩小一倍(分是足够缓慢的变还是突变两种情况)时,波函数和能级怎么变?将势场曲线正题右移a,波函数和能级怎么变?§2.4一维

7、方势阱一维方势阱§2.4一维方势阱一维方势阱§2.4一维方势阱一维方势阱§2.4一维方势阱a)偶宇称波函数为cos(kx)关键:用在连续以代替波函数以及导数的连续.好处在于去掉波函数中常数的影响§2.4一维方势阱结论:无论Ua^2取何值,都有解(见下一页图)一维方势阱偶宇称能谱图§2.4一维方势阱b)奇宇称波函数为sin(kx)结论:当时才有解(见下一页图)一维方势阱奇宇称能谱图§2.4一维方势阱c)当势场趋于无穷时,回到一维无限深势阱的特例具有不同的深度但是宽度相同的方势阱(1)具有不同