数值分析简明教程(第二版)课后习题集答案解析

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1、0.1算法1、(p.11,题1)用二分法求方程在[1,2]内的近似根,要求误差不超过10-3.【解】 由二分法的误差估计式,得到.两端取自然对数得,因此取,即至少需二分9次.求解过程见下表。符号0121.5+1234567892、(p.11,题2)证明方程在区间[0,1]内有唯一个实根;使用二分法求这一实根,要求误差不超过。【解】 由于,则在区间[0,1]上连续,且,,即,由连续函数的介值定理知,在区间[0,1]上至少有一个零点.又,即在区间[0,1]上是单调的,故在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式,得到.两端取自然对数得,因此取,即至少需二分7次.求解过程见下表。符号0010

2、.512345670.2误差1.(p.12,题8)已知e=2.71828…,试问其近似值,,x2=2.71,各有几位有效数字?并给出它们的相对误差限。【解】有效数字:因为,所以有两位有效数字;因为,所以亦有两位有效数字;因为,所以有四位有效数字;;;。评 (1)经四舍五入得到的近似数,其所有数字均为有效数字;(2)近似数的所有数字并非都是有效数字. 2.(p.12,题9)设,,均为经过四舍五入得出的近似值,试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】,;,;,;评 经四舍五入得到的近似数,其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3.(p.12,题10)已知,,的绝对误差限均为,问它们各

3、有几位有效数字?【解】由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起,故,有三位;有一位;而,也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、(p.54,习题1)求作在节点的5次泰勒插值多项式,并计算和估计插值误差,最后将有效数值与精确解进行比较。【解】由,求得;;;;;,所以插值误差:,若,则,而,精度到小数点后5位,故取,与精确值相比较,在插值误差的精度内完全吻合!2、(p.55,题12)给定节点,试分别对下列函数导出拉格朗日余项:(1);(2)【解】依题意,,拉格朗日余项公式为(1)→;(2)因为,所以3、(p.55,题13)依据下列数据表,试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估计误差

4、。0120.320.340.360.3145670.3334870.352274【解】依题意,,拉格朗日余项公式为(1)线性插值因为在节点和之间,先估计误差;须保留到小数点后4为,计算过程多余两位。(1)抛物线插值插值误差:抛物线插值公式为:经四舍五入后得:,与精确值相比较,在插值误差范围内完全吻合!1.3分段插值与样条函数1、(p.56,习题33)设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数,试确定系数b,c的值.【解】依题意,要求S(x)在x=1节点函数值连续:,即:一阶导数连续:,即:解方程组(1)和(2),得,即由于,所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。2、已知函数的一组数据,

5、和,(1)求其分段线性插值函数;(2)计算的近似值,并根据余项表达式估计误差。【解】(1)依题意,将x分为[0,1]和[1,2]两段,对应的插值函数为,利用拉格朗日线性插值公式,求得;(2),而,实际误差为:。由,可知,则余项表达式1.4曲线拟合1、(p.57,习题35)用最小二乘法解下列超定方程组:【解】构造残差平方和函数如下:,分别就Q对x和y求偏导数,并令其为零::,:,解方程组(1)和(2),得2、(p.57,习题37)用最小二乘法求形如的多项式,使之与下列数据相拟合。【解】令,则为线性拟合,根据公式(p.39,公式43),取m=2,a1=0,N=5,求得;依据上式中的求和项,列出下表

6、xiyiXi(=xi2)Xi2(=xi4)Xiyi(=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8∑157271.453277277699369321.5将所求得的系数代入方程组(1)和(2),得;;即:。2.1机械求积和插值求积1、(p.94,习题3)确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明求积公式所具有的代数精度:;;。【解】(1)令时等式精确成立,可列出如下方程组:解得:,即:,可以验证,对公

7、式亦成立,而对不成立,故公式(1)具有3次代数精度。(2)令时等式精确成立,可列出如下方程组:解得:,即:,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式(2)具有3次代数精度。(3)令时等式精确成立,可解得:即:,可以验证,对公式亦成立,而对不成立,故公式(3)具有2次代数精度。2、(p.95,习题6)给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式,并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意,先求插值求积

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