数值分析简明教程(第二版)课后习题答案解析

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1、0.1算法1、（p.11，题1）用二分法求方程在[1,2]内的近似根，要求误差不超过10-3.【解】　由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分9次.求解过程见下表。符号0121.5+1234567892、（p.11，题2）证明方程在区间[0,1]内有唯一个实根；使用二分法求这一实根，要求误差不超过。【解】　由于，则在区间[0,1]上连续，且，，即，由连续函数的介值定理知，在区间[0,1]上至少有一个零点.又，即在区间[0,1]上是单调的，故在区间[0,1]内有唯一实根.由二分法的误差估计式，得到.两端取自然对数得，因此取，即至少需二分7次.求解过程见下表。符号001

2、0.512345670.2误差1．（p.12，题8）已知e=2.71828…，试问其近似值，，x2=2.71，各有几位有效数字？并给出它们的相对误差限。【解】有效数字：因为，所以有两位有效数字；因为，所以亦有两位有效数字；因为，所以有四位有效数字；；；。评　（1）经四舍五入得到的近似数，其所有数字均为有效数字；（2）近似数的所有数字并非都是有效数字. 2．（p.12，题9）设，，均为经过四舍五入得出的近似值，试指明它们的绝对误差(限)与相对误差(限)。【解】，；，；，；评　经四舍五入得到的近似数，其绝对误差限为其末位数字所在位的半个单位.3．（p.12，题10）已知，，的绝对误差限均为，问它

3、们各有几位有效数字？【解】由绝对误差限均为知有效数字应从小数点后两位算起，故，有三位；有一位；而，也是有一位。1.1泰勒插值和拉格朗日插值1、（p.54，习题1）求作在节点的5次泰勒插值多项式，并计算和估计插值误差，最后将有效数值与精确解进行比较。【解】由，求得；；；；；，所以插值误差：，若，则，而，精度到小数点后5位，故取，与精确值相比较，在插值误差的精度内完全吻合！2、（p.55，题12）给定节点，试分别对下列函数导出拉格朗日余项：（1）；（2）【解】依题意，，拉格朗日余项公式为（1）→；（2）因为，所以3、（p.55，题13）依据下列数据表，试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值并估

4、计误差。0120.320.340.360.3145670.3334870.352274【解】依题意，，拉格朗日余项公式为（1）线性插值因为在节点和之间，先估计误差；须保留到小数点后4为，计算过程多余两位。（1）抛物线插值插值误差：抛物线插值公式为：经四舍五入后得：，与精确值相比较，在插值误差范围内完全吻合！1.3分段插值与样条函数1、（p.56，习题33）设分段多项式是以0,1,2为节点的三次样条函数，试确定系数b，c的值.【解】依题意，要求S(x)在x=1节点函数值连续：，即：一阶导数连续：，即：解方程组（1）和（2），得，即由于，所以S(x)在x=1节点的二阶导数亦连续。2、已知函数的一

5、组数据，和，（1）求其分段线性插值函数；（2）计算的近似值，并根据余项表达式估计误差。【解】（1）依题意，将x分为[0,1]和[1,2]两段，对应的插值函数为，利用拉格朗日线性插值公式，求得；（2），而，实际误差为：。由,可知，则余项表达式1.4曲线拟合1、（p.57，习题35）用最小二乘法解下列超定方程组：【解】构造残差平方和函数如下：，分别就Q对x和y求偏导数，并令其为零：：，：，解方程组（1）和（2），得2、（p.57，习题37）用最小二乘法求形如的多项式，使之与下列数据相拟合。【解】令，则为线性拟合，根据公式(p.39,公式43)，取m=2，a1=0，N=5，求得；依据上式中的求和项

6、，列出下表xiyiXi(=xi2)Xi2(=xi4)Xiyi(=xi2yi)191936113032168592532.362539062520187.53149961923521470893873.314442085136105845.24497.819363748096189340.8∑157271.453277277699369321.5将所求得的系数代入方程组（1）和（2），得；；即：。2.1机械求积和插值求积1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度：；；。【解】（1）令时等式精确成立，可列出如下方程组：解得：，即：，可

7、以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（1）具有3次代数精度。（2）令时等式精确成立，可列出如下方程组：解得：，即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（2）具有3次代数精度。（3）令时等式精确成立，可解得：即：，可以验证，对公式亦成立，而对不成立，故公式（3）具有2次代数精度。2、（p.95，习题6）给定求积节点试构造计算积分的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。【解】依题意，先求插值求积