不等式及恒成立经典例题

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1、不等式及恒成立经典例题例1 已知f(x)=x2+2(a-2)x+4.(1)如果对一切x∈R,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.(2)如果对x∈〔-3,1〕,f(x)>0成立,求实数a的取值范围.解:f(x)的图像开口向上.(1)对一切实数x,f(x)>0,则△<0,即(a-2)2-4<0,∴0<a<4;(2)当x∈〔-3,1〕时,f(x)>0,对称轴2-a可在区间内,也可在区间外,∴或或解得-<a<4例2   设A={x|-2<x<-1,或x>1},B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},试求a

2、,b的值.分析 在本题求解时要正确利用图形进行分析.解:如图所示,设B={x|α≤x≤β}设想集合B所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当B“覆盖”住集合{x|-1≤x≤3},才能使A∩B={x|1<x≤3}∴“α≤-1且β≥1”,并且α≥-1及β=3.∴α=-1,β=3.因此B={x|-1≤x≤3},根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根.∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.解恒成立问题常用方法1分离参数法例3:设,其中a是实数,n是任意给定的自然数且n≥2,若当时有意义,求a的取值范围。解:由时

3、,有意义得:,由指数函数单调性知上式右边的函数的最大值是=故a>例2:已知定义在R上函数f(x)为奇函数,且在上是增函数,对于任意求实数m范围,使恒成立。解:∵f(x)在R上为奇函数,且在上是增函数,∴f(x)在上为增函数又∵∴>-=∴即∵2-,∴2∴m>令2-∴m>4-即4-m<在上恒成立即求在上的最小值∵≥2等号成立条件t=,即成立∴∴4-m<即m>4-∴m的取值范围为(4-,+∞)例3:设0

4、()于是得不等式组:又,最小值为;最小值为;∴,即:b的取值范围是2主参换位法例4:若对于任意a,函数的值恒大于0,求x的取值范围。解:设,把它看成关于a的直线,由题意知,直线恒在横轴下方。所以解得:或或例5:对于(0,3)上的一切实数x,不等式恒成立,求实数m的取值范围。解:若设,把它看成是关于x的直线,由题意知直线恒在x的轴的下方。所以解得:

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