湘潭大学数字电路课件 第3章

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1、第3章逻辑函数主要内容⒈基本逻辑运算⒉逻辑代数的基本公式和规则⒊逻辑函数的化简3.1概述逻辑代数是分析和设计数字逻辑电路的数学工具。本节讨论：逻辑变量、逻辑函数、基本逻辑运算和逻辑代数公式，以及化简逻辑函数的两种方法—公式法和图形法。1849年，英国数学家GeorgeBoole提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法：布尔代数，又称逻辑代数。逻辑代数研究的是二值逻辑(0,1)关系。逻辑是指事物的因果关系，或者说条件和结果的关系，这些因果关系可以用逻辑运算来表示，也就是用逻辑代数来描述。事物往往存在两种对立的状态，在逻辑代数中可以抽象地

2、表示为0和1，称为逻辑0状态和逻辑1状态。逻辑变量和逻辑函数逻辑代数中的变量称为逻辑变量，用大写字母表示。逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1，0和1称为逻辑常量，并不表示数量的大小，而是表示两种对立的逻辑状态。◆数字电路的特点及描述工具数字电路是一种开关电路；输入、输出量可用（0，l）来表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。仿效普通函数的概念，数字电路可以用逻辑函数的数学工具来描述。逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、…的每一组确定值，输出逻辑变量F就有唯一确定的值，则称F是A、B、C、…的逻辑函数。

3、记为真值表、逻辑表达式、逻辑图、波形图、卡诺图公理3：公理4：公理5：3.2逻辑代数的运算规则一.基本公理公理1：设A为逻辑变量，若A≠0，则A＝1；若A≠l，则A＝0。公理2：00=0；1+1=111=1；0+0=0。01=0；1+0=1。10=0；0+1=1。二.基本定律分别令A=0及A=1代入这些公式，即可证明它们的正确性。（7）6、交换律7、结合律8、分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+

4、C)普通代数不适用!(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配律A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC重叠律AA=A=A(1+B+C)+BC分配律A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1律A+1=1例1、证明分配律：A+BC=(A+B)(A+C)证明：（9）吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。原变量的吸收：A+AB=A证明：左式=A(1+B)原式成立口诀：长中含短,留下短。长项短项=A=右式1

5、

6、9.吸收律（10）反变量的吸收：A+AB=A+B证明：=右式口诀：长中含反,去掉反。原(反)变

7、量反(原)变量添冗余项1

8、

9、另证：10.等同律（11）混合变量的吸收：证明：添冗余因子AB+AC+BC=AB+AC互为反变量=右式口诀：正负相对,余全完。（消冗余项）添加12.包含律包含律推论：该式说明：两个与项相加时，若它们分别包含A和因子，则两项中的其余因子组成可添加的第三个与项。其逆式也成立，即三个与项相加时，若两项中分别有和A因子，而这两项的其余因子组成第三个乘积项时，则第三个乘积项是多余的，可以消去。三、摩根定理(反演律）（13）（DeMorgan)证明：真值表法、穷举法推广到多变量：说明：两个（或两个以上）变量的与非

10、（或非）运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非与）运算。用真值表证明摩根定理成立（14）A·B=A+BA+B=A·BAB00011011Y1=A·BY2=A+B11101110相等√摩根定理逻辑代数的基本公式=A⊙B=自等律说明公式求反律反演律分配律结合律还原律吸收律交换律重叠律互补律0—1律四.基本运算规则(1)代入规则在任何逻辑等式中，如果等式两边所有出现某一变量的地方，都代之一个函数，则等式仍然成立。这个规则叫代入规则。例如：等式若用F=AC代替A，则根据代入规则，等式仍成立，即利用代入规则，可以将基本公式推广为多变量的形

11、式，扩大公式的使用范围A+C+D=A•C+D反演律A+B=A•B用Y=C+D代替B=A•C•D例1、证明：A+C+D=A•C•D证明：(2)反演规则内容：将函数式F中所有的++变量与常数均取反1.遵循先括号再乘法后加法的运算顺序。2.不是单个变量上的反号保留不变。规则:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：显然：(反函数)例2：与或式注意括号注意括号例3：与或式反号不动反号不动解1：解2：逻辑代数的三条规则练习1：求下列逻辑函数的反函数：利用反演规则时须注意以下两点：⑴仍需遵守“先括号，然后乘，最后加”的运算顺

12、序。⑵不属于单个变量上的长非号，在利用反演规则时应保持不变，而长非号下的变量及·和＋号符号仍按反演规则处理。德·摩根定理实际上是反演规则的一个特例。（24）(3)对偶定理将函数式F中所有的对偶式：++常量取反新表达式：对偶式对偶定理：当某个逻辑