由一个探究活动引出的思考

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1、由一个探究活动引出的思考浙江绍兴县华甫中学张敏丽浙教版九年级（上）数学课木第51页，有这样一个探究活动：在木节的例5中，我们把一元二次方程x²+x—1=0的解看做是抛物线y=x²+x-l与x轴交点的横坐标，利用图象求出了方程的近似解。如果把方程x²+x-l=0变形成x²=-x+1,那么方程的解也可以看成怎样的两个函数的交点的横坐标？用不同图象解法试一试，结果相同吗？在不使用计算机画图象的情况下，你认为哪一种方法较为方便？此题利用函数图象来求一元二次方程的解，虽说是一个探究活动，但这个知识比较重要，在考试中经常考到。它引自课文49页例5

2、,但又高于课木例题，举一反三，用不同的方法来求解。这里就用到了我们数学中一种很主要的数学思想方法：数形结合。数与形是数学中的两个最古老，也是最基木的研宄对象，它们在一定条件下可以相互转化。中学数学研宄的对象可分为数和形两大部分，数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，实现数形结合。这个题目可以很好的诠释数形结合思想在数学题目中的应用。通过前面的例题我们知道，一元二次方程x²+x—1=0的解，可以看做是抛物线y=x&SUp2;+x-l与x轴交点的横坐标。利用函数图象（形），

3、我们求出了方程的解（数），很好的体现了数形结合的思想。如果把方程x²+x-l=0变形成x²=-x+1,我们也容易想到：方程的解也可以看成函数y=x²和y=-x+1图象交点的横坐.标。结果应该相同，而且这种方法对于画图来说更方便一些。因为画一次函数肯定比画二次函数简单，虽然也需要画二次函数图象，似是画顶点是原点的函数图象相对比较简便。马上就有同学联想到还有三种方法：1、我们也可以把方程x²+x-l=0变形成x²-1=-x，方程的解可以看成函数y=x²-l和y=-X图象交点的横坐标。2、把方程变形成x²+x=

4、1，方程的解可以看成函数y=x²+x和y=l图象交点的横坐标。3、其至有同学想到我们不一定要利用二次函数的图象，我们可以两边同除以x（x不等于0），得：x+l-l/x=0,移项得：x+l=l/x,因此方程的解也可以看做函数y=x+l和y=l/x图象交点的横坐标。当然，能想到最后一种的，学生中应该是佼佼者了。所以这个题0利用函数图象，我们一共冇以上5种方法求解。我们马上来应用一下：己知函数y=ax2+bx+C的图象如图所示，那么关于x的方程ax2+bx+c+2=0的根的情况是（）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根这个题0对于

5、学生来讲比较困难，学生不知从哪里入手。我们可以从探究活动中得到启发，把方程ax2+bx+c+2=0，变形成ax2+bx+c=-2，因此它的解可以看成函数y=ax2+bx+c与y=-2图象交点的横坐标。直线y=-2是一条经过（0，-2）且平行于x轴的直线，在原图中画上直线y=-2的图象，可以发现与抛物线有两个交点，II都位于第四象限，因此原方程冇两个同号，而且是同正不等实数根，答案应选（D）。变式1:己知函数¥=3*2+6*+0的图象如图所示，那么关于x的方ax2+bx+c+3=0的根的情况是（）解：对于方程ax2+bx+c+3=0,变形成ax2+bx+c=-3,因此它的解可

6、以看成函数y=ax2+bx+c与y=-3图象交点的横坐标。我们可以发现只有唯个交点，也就是原方程有两个相等的实数根，答案选（B）。变式2:已知函数丫=3*2+6*+6的图象如图所示，那么关于x的方ax2+bx+c+4=0的根的情况是（）解：对于方程ax2+bx+c+4=0，变形成ax2+bx+c=-4：因此它的解可以看成函数y=ax2+bx+C与y=-4图象交点的横坐标。我们可以发现抛物线与经过（0,-4），且平行于x轴的直线y=-4无交点，也就是原方程无实数根，答案选（A）。我国著名数学家华罗庚曾经说过这样一句话：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”。数形结合的思想，其实质

7、是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合。我们平时的教学，应该要注重探宄，给学生充分的思考空间，在解题过程中渗透数学思想方法，培养学生思维的灵活性，形象性，从根本上提高学生的数学能力。这才是我们数学教学的根本。