概率中“等量代换”方法的运用

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1、概率中“等量代换”方法的运用　　摘要：高中学生学习概率时对研究的个体有无区别有时比较困惑，应该如何判断才能使结论判断准确，本文给出了一种较好的方法。　　关键词：概率；等量代换；元素；区别　　高中数学中概率这部分知识是比较难的部分，对学生的分析能力尤其是分类、分步安排事情的能力要求很高。可以说概率学好了，那么学生的分析能力就能上了个新台阶。　　高中阶段的常见的概率问题之一是古典概型――等可能性事件发生的概率。这类题型的求解过程中有两个重要部分：求一次试验中所有可能的结果数目n以及求某个事件A包含的结果数目m，很多都要

2、涉及排列组合。　　因为排列与组合的定义里都强调“不同元素”，所以在求m、n的过程中里常常会遇到这样一个问题：我们要研究的个体是有区别的还是无区别的？如果有区别，那么在求m、n时我们才可以把他当做排列与组合的问题来处理，否则就不能够这样做。　　因此，个体间有无区别是我们解题之前必须要判断的一个重要问题。　　比如，一个袋中装有8个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同。现从袋中任意摸出5个球，用X表示摸出红球的个数。　　（1）求P（X=3）；　　（2）……4　　这里我们只看第（1）题的解答：P（X=3）=■=■≈0.4

3、242。　　题目中明确指出这件产品中“这些球除颜色外完全相同”，但是从课本的解答过程中用了组合，可以看出答案是把产品当做有区别来计算的。　　为什么这样？有什么道理在里面么？　　我们先来看这样一个例子。　　一个商店进行促销活动时，规则如下：“有一个盒子，里面放了写有不同号码的10个乒乓球，其中2个黄色8个白色。顾客从中一次摸出两个，如果摸出2个黄色球，那么就中了一等奖，奖励价值为200元购物卡……”　　设顾客参加促销活动得一等奖的概率为P（A），我们可以算出P（A）=■=■，　　过了几天活动还在进行，但乒乓球上写的数

4、字在几天中已经慢慢地被人们的手擦去了。你觉得顾客现在得一等奖的概率P（B）与P（A）相比会不会发生变化？显然不会。因为影响结果的只是球的颜色，与球的号码无关。　　即P（B）=P（A）。　　现在如果要算出P（B）的话该怎么算呢？虽然同色乒乓球之间已经不再能区别开，但我们可以把他们当成有区别来计算，也就是只要求出P（A）问题就解决了。　　这里的分析过程中我们就运用了等量代换的方法。　　那么一般地，如果遇到一个题目，不知道个体间有没有区别，那么我们就这样处理：4　　第一步：假设题目中的个体都是有区别的，判断一下题目结果会

5、不会改变；　　第二步：如果结果不变那么就把他们当成有区别来计算就可以了。　　回到前面提到的例子，先想一想如果相同颜色的球也编上了不同的号码，也就是有区别了，这些号码会影响“摸出3个红球”的概率么？不会！因为我们只看小球是红色还是白色，号码是多少根本不在考虑之列。故即便课本的这个例题中说了相同颜色没有区别，但是由于结果一样，我们仍然把它们当做有区别来计算，课本上的解答的道理就是这样。　　另外，概率计算时有些题目中个体抽取讲不讲顺序也会给人带来困扰。特别是有些题目没说清楚时，有些人会觉得题目表达有歧义没法做或者费尽心思

6、琢磨每一个文字以从中找到讲顺序或不讲顺序的确切证据，却不知，有部分题目讲不讲顺序并不影响结果，没必要区分，两者是等价的！　　如：有五个纸团里面分别写了2、3、4、5、6，任抽取两张，求其和为奇数的概率。　　“任抽取两张”，讲顺序么？题目没说，但经过分析我们可以看出讲不讲顺序都行。　　这样设想：让A、B两同学一起来做实验。　　A同学按顺序取出两个纸团并求出数字之和，然后将两个纸团打乱顺序交给B同学，再次求出数字之和。　　A同学觉得自己是按顺序抽取，B同学觉得自己是不讲顺序的抽取，但每次实验两人求出的数字之和肯定是相等

7、的！由此可见，此题中抽取讲顺序与否并不影响实验的结果。4　　所以P=■=■，也可以这样算：P=■=■。　　其实也好理解，求两个数的和只关心其数字，与顺序并没有关系。　　这类可有可无的顺序问题，在实际求m、n时要么都讲顺序，要么都不讲顺序。不求“明察秋毫”，但求“标准统一”。　　从以上的分析可以看出，有些概率问题中个体有无区别并不影响结果，抽取讲不讲顺序也不影响结果，在两者等价的前提下可以“等量代换”。　　参考资料：　　1.一道有争议的概率问题.中学数学教学参考.2010.　　2.仓万林，刘燕楠.概率中的“有序”和“

8、无序”.　　（作者单位：湖南省衡阳县第八中学）4