3.4有限单元法(6学时)

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1、第四节有限单元法FiniteElementMethod(FEM)2内容简介有限元法是结构分析的一种数值计算方法。它在20世纪50年代初期随着计算机的发展应运而生。这一方法的理论基础牢靠，物理概念清晰，解题效率高，适应性强，目前已成为机械产品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。第四节有限单元法本节介绍了如下内容:++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++有限元法的基本思想平面问题有限元分析原理及步骤有限元法的设计应用及

2、计算实例2021/7/23一、概述在工程分析和科学研究中，常常会遇到大量的由常微分方程、偏微分方程及相应的边界条件描述的场问题，如位移场、应力场和温度场等问题。目前求解这类场问题的方法主要有两种：●用解析法求得精确解；●用数值解法求其近似解。其中，能用解析法求出精确解的只能是方程性质比较简单且几何边界相当规则的少数问题。而对于绝大多数问题，则很少能得出解析解。这就需要研究它的数值解法，以求出近似解。2021/7/24目前，工程中实用的数值解法主要有三种：有限差分法有限元法边界元法其中，以有限元法通用性最好，解题效率高，工程应用最广。目前它已成为机械产

3、品动、静、热特性分析的重要手段，它的程序包是机械产品计算机辅助设计方法库中不可缺少的内容之一。有限差分法：微分方程和积分微分方程数值解的方法。基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似，积分用积分和来近似，于是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。边界元法：边界元法是一种继有

4、限元法之后发展起来的一种新数值方法,与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同,边界元法是公在定义域的边界上划分单元,用满足控制议程的函数去逼近边界条件.所以边界元法与有限元相比具有单元的未知数少,数据准备简单等优点.但用边界元法解非线性问题时,遇到同非线性项相对应的区域积分,这种积分在奇异点附近有强烈的奇异性,使求解遇到困难.边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确的、有效的工程数值分析方法。又称边界积分方程-边界元法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了

5、问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。2021/7/27“有限元法”的基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。“有限元法”这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用。此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已

6、成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。2021/7/2有限元法的分析过程可概括如下：连续体离散化单元分析整体分析确定约束条件有限元方程求解结果分析与讨论Guidelines9二、平面问题有限单元法有限元法分析问题的主要步骤：连续体离散化单元分析整体分析第三章用常应变三角形1、连续体离散化①②jmij(m)F常用单元假定将连续的弹性体分割成由单元所组成的离散体，单元间由结点连接。结构离散是有限元单元分析的基础。第三章用常应变三角形单元解弹性力学平面问题2、单元分析1)、单元位移函数（或单元位移模式）多项式：按照有限元法的基本思想：首先需设定一种函数来近似

7、表达单元内部的实际位移分布，称为位移函数，或位移模式。三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数，故三角形单元的广义坐标位移函数为三角形单元ijm位移函数：矩阵形式：A为三角形单元的面积代入水平位移分量和结点坐标:可逆矩阵伴随矩阵。将其行列式中各元素的代数余子式按行列式中各元素的顺序排列成方阵，再转置后得的方阵。行列式。其值为面积的2倍。第三章用常应变三角形单元解弹性力学平面问题[T]的伴随矩阵1的代数余子式第三章用常应变三角形单元解弹性力学平面问题将垂直位移分量和结点坐标代入第三章用常应变三角形单元解弹性力学平面问题第三章用常应变三角形单元解弹性

8、力学平面问题（下标i，j，m轮换）令形函数形函数矩阵第三章用常应变