固体物理ch3-s4

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1、§3-4三维晶格的振动3DCrystalVibrations本节主要内容:1色散关系2波矢q的取值和范围1.三维晶格振动的色散关系（1）模型设三维无限大的晶体,每个原胞中有n个原子，各原子的质量分别为原胞中这n个原子平衡时的相对位矢分别为。晶体的原胞数目第l个原胞的位置表示平衡时顶点位矢为的原胞内第k个原子的位矢；表示顶点位矢为的原胞内第k个原子离开平衡位置在方向的位移。原胞中各原子的位置[(=3,k=n)共有3n个方程](=1,2,3；k=1,2,3,···,n)(2)运动方程和解(3-63

2、)各原子偏离格点的位移第k个原子运动方程:在简谐近似下，(3-63)式的右端是位移的线性代数式。(3-65)原子位移方程的解:将方程解代回3n个运动方程，可得到3n个线性齐次方程:3n个线性齐次方程(3-65)式是ω2的一个3n次方程式，从而得到3n个解ωj长波极限，有三个解，，而且对于这三个解，趋于一致。也就是说在长波极限，整个原胞一起移动。这三个解实际上与弹性波相合。另外3n－3支长波极限的格波，称为光学波，描述一个原胞中各原子间的相对运动。结论：晶体中一个原胞中有n个原子组成，有3支声学波和3

3、n－3支光学波。2.波矢q的取值和范围波矢是波矢空间的3个基矢，即倒格子基矢是3个系数三维晶格中的波矢采用波恩－卡曼边界条件导出：hi为整数(h1、h2、h3为整数)即：波矢具有倒格矢的量纲,或写为：每个波矢代表点占有的体积为：正格子原胞体积晶体体积分布密度为：(二维图示)三维格波的波矢不是连续的而是分立的，其中为波矢的基矢，波矢的点阵亦具有周期性。即波矢空间中单位体积的波矢数目。又称波矢密度。原子振动波函数为波矢改变一个倒格矢不同原胞之间相位联系，表现在位相因子表明原子的振动状态是一样得。为了得到

4、不同的格波，也只需要考虑一定的q值范围。将的取值限制在一个倒格子原胞范围内，此区间称为简约布里渊区（即：第一布里渊区），如图3-9。个取值3支声学波(3n-3)支光学波三维晶体有N个原胞,每个原胞有n个原子,晶格振动频率数目：波矢可取的数目：结论：对于三维晶体晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动模式的数目=晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。其中：N晶体中原胞数；n原胞内原子数；m维数例：金刚石结构有几支格波?几支声学波?几支光学波?设晶体有N个原胞，晶格振动模

5、式数为多少?答:因为金刚石结构为复式格子，每个原胞有2个原子。格波支数=nm=3x2=6，有6支格波，3支声学波，3支光学波。根据晶格振动的波矢数目=晶体的原胞数N，格波振动模式数目=晶体的自由度数mNn，晶体中格波的支数=原胞内原子的自由度数mn。振动模式数为:mNn=3×N×2=6N。实例1：硅的格波谱，教材p102图3-10实例2：GaAs的格波谱，教材p103图3-11实例3：Pb的格波谱，教材p103图3-12结束Thanksforyourattention!