昆明理工大学--线性代数复习

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1、线性代数昆明理工大学数学系2010.52分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之和，即算出排列中每个元素的逆序数．解例１1、计算排列的逆序数当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列．于是排列的逆序数为2、求第一行各元素的代数余子式之和解第一行各元素的代数余子式之和可以表示成按第一行或列展开３　用化三角形行列式计算例５计算解提取第一列的公因子，得评注本题利用行列式的性质，采用“化零”的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数化为1

2、；若所给行列式中元素间具有某些特点，则应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到化为三角形行列式之目的．４　用降阶法计算例６计算解评注本题是利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．5设6故解注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如不存在.7设列矩阵满足证明7解方法一　用定义求逆阵逆矩阵的运算及证明注方法二注此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的矩阵

3、不适用．求逆矩阵的初等变换法8求下述矩阵的逆矩阵．解注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换．四、解矩阵方程的初等变换法或者当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解．当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则．二、求解线性方程组9求非齐次线性方程组的通解．解对方程组的增广矩阵　进行初等行变换，使其成为行最简单形．由此可知　　　　　　　，而方程组(1)中未知量的个数是　　，故有一个自由未知量.1

4、0当　取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解．解法一系数矩阵　的行列式为从而得到方程组的通解解法二用初等行变换把系数矩阵　化为阶梯形11设有线性方程组解其通解为这时又分两种情形：证事实上14解再把它们单位化，取解15对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值解之得基础解系解之得基础解系解之得基础解系第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化于是得正交阵1.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)特征值的重数和与之对应的线性无关的特征向量的个数相等；(4)必存在正交矩阵，

5、将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．2.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的步骤：(1)求特征值；(2)找特征向量；(3)将特征向量单位化；(4)最后正交化．解小结1.实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法．2.实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换．下一节，我们将介绍另一种方法——拉格朗日配方法．18判别二次型是否正定.解它的顺序主子式故上述二次型

6、是正定的.19判别二次型是否正定.解二次型的矩阵为用特征值判别法.故此二次型为正定二次型.即知是正定矩阵，20判别二次型的正定性.解