资源描述：
《合肥工业大学-高等数学-下-8.6》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、8.6空间曲线及其方程一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程三、空间曲线在坐标面上的投影空间曲线可以看作两个曲面的交线.设一、空间曲线的一般方程和是两个曲面的方程,它们的交线为C(图).因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个曲面的方程,所以应满足方程组该方程组叫做空间曲线C的一般方程.例1方程组表示怎样的曲线?解方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,其准线是xOy面上的圆,圆心在原点O,半径为1.方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的平面方程组就表示上述平面与圆柱面的交线.xyzO例2方程组表示怎样的曲线?解方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O,半径
2、为a的上半球面.,半径为第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面,它的准线是xOy面上的圆,这圆的圆心在点二、空间曲线的参数方程空间曲线C的方程除了一般方程之外,也可以用参数形式表示,只要将C上动点的坐标x，y，z表示为参数t的函数:(2)当给定时,就得到C上的一个点随着t的变动便可得曲线C上的全部点.方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.例3如果空间一点M在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中都是常数),那么点M构成的图形叫做螺旋线.试建立其参数方程.解取时间t为参数.设当时,处.经过时间t,动点由A运动到动点位于x轴上的一点h记M在xOy
3、面上的投影为的坐标为由于动点在圆柱面上以角速度绕z轴旋转,所以经过时间t,由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,所以因此螺旋线的参数方程为也可以用其他变量作参数;例如令,则螺旋线的参数方程可写为这里,而参数为三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线C的一般方程为(3)现在我们来研究由方程组(3)消去变量z后所得的方程(4)由于方程(4)是由方程组(3)消去z后所得的结果,因此当x，y和z满足方程组(3)时,前两个数x，y必定满足方程(4),这说明曲线C上的所有点都在由方程(4)所表示的曲面上.由上节知道,方程(4)表示一个母线平行于z轴的柱面.所表示的曲线必定包含空
4、间曲线C在xOy面上的投影.同理,消去方程组(3)中的变量x或变量y,再分别和x=0或y=0联立,我们就可得到包含曲线C在yOz面或xOz面上的投影的曲线方程:或由上面的讨论可知,这柱面必定包含曲线C.以曲线C为准线,母线平行于z轴(即垂直于xOy面)的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy面上的投影曲线,或简称投影.因此,方程(4)所表示的柱面必定包含投影柱面,而方程例4已知两球面的方程为(1)和(2)求它们的交线C在xOy面上的投影方程.解先求包含交线C而母线平行于z轴的柱面方程.因此要由方程(1),(2)消去z,为此可先从
5、(1)式减去(2)式并化简,得到再以z=1-y代入方程(1)或(2)即得所求的柱面方程为容易看出,这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程,于是两球面的交线在xOy面上的投影方程是在重积分和曲面积分的计算中,往往需要确定一个立体或曲面在坐标面上的投影,这时要利用投影柱面和投影曲线.例5设一个立体由上半球面和锥面所围成,求它在xOy面上的投影.解半球面和锥面的交线为由上列方程组消去z,得到xyzo这是xOy面上的一个圆,于是所求立体在xOy面上的投影,就是该圆在xOy面上所围的部分:.这是一个母线平行于z轴的圆柱面,容易看出,这恰好是交线C关于xOy面的投影柱面,因此交线C在x
6、Oy面上的投影曲线为
