四年级下数学思维训练教程（尖子生）

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1、四年级下期第一讲定义新运算同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。例1　设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。(1)求4△3，3△4。(2)这种运算有“交换律”吗？(3)求(17△6)△2，17△(6△2)。(4)这种运算有“结合律”吗？(5)如果已知5△b＝1，求b。解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后，

2、就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以：(1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。(2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。(3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。(4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2)的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。(5)因为

3、5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。例2　如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。因为3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。例3　规定

4、：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。(1)求1＆100的值；(2)已知x＆10＝75，求x。解：(1)a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1)　　　＝1＋2＋3＋…＋100　　　＝(1＋100)×100÷2　　　＝101×100÷2　　　＝5050。(2)x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝7541　　　　　　　10x＋(1＋2＋…＋9)＝75　　　　　　　　　　　　10x＋45＝75　　10x＝75－45　　　　　　　　　　　　

5、　　10x＝30　　　　　　　　　　　　　　　　　　x＝30÷10x＝3　　例4　羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：　　羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。　　以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。　　小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：　　羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。　　这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。

6、对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)　＝羊△羊★羊△狼　＝羊★羊△狼　＝羊△狼　＝狼练　习　一1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。试计算：(1)5△6；6△5。2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。5．设a▽b＝a×

7、b＋a－b，试求5▽8。6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？7．设a、b都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。求(1)10△6；(2)7△(4△8)。8．规定A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知82☉65＝31。计算：41(1)29☉57；(2)38☉(14☉23)。11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。计算2000◇6。12．如果“＋、

8、－、×、÷、()”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？(1)8×7＝8；(2)7×7×7＝