动态规划算法及算法思路的分析

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1、动态规划算法及算法思路的分析石家庄二中贾志豪动态规划算法及算法思路的分析石家庄二中贾志豪[关键字]动态规划状态表示状态转移最优化原理无后效性[摘要]在信息学竞赛中，我们经常遇到求最优解的问题。这些问题的特点是，只需要求出最优解，而不要求写出最优解的具体情况。为了解决这类问题，我们经常会用到一种有效的算法——动态规划。使得我们可以在有限的时间内，求出问题的解。本文首先介绍一些关于动态规划的理论知识，然后将介绍向动态规划的思路上靠拢的方法——即如何思考，最后再介绍一些经典例题。希望大家能互相促进。我的邮箱是：dugushuiyi@sina.comQQ：3965118

2、73[目录]一动态规划的理论知识1.1动态规划的基本思想1.2动态规划问题的特征1.3使用动态规划的原则二解题时的思路——如何向动态规划上靠拢2.1分析问题是否符合动态规划的原则2.2确定使用动态规划时的状态和状态转移2.3估计程序的时间、空间复杂度及编程的难易程度-21-动态规划算法及算法思路的分析石家庄二中贾志豪三一些经典例题四习题[正文]一动态规划的理论知识1.1动态规划的基本思想动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有许多可行解。每一个解都对应一个值，我们希望找到具有最优值的解。动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求

3、解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。（本段文字摘自国家集训队论文

4、）1.2动态规划问题的特征动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：最优子结构性质和子问题重叠性质。-21-动态规划算法及算法思路的分析石家庄二中贾志豪1、最优子结构：当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。2、重叠子问题：在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。1.3使用动态规划的原则符合最优化原理和无后效性原则是使用动态规划的原则。1、最优

5、化原理：最优化原理一概念在刘汝佳的《算法艺术与信息学竞赛》一书中是这样解释的——再把原问题转换成规模更小的字问题时，原问题最优当且仅当子问题最优，这就是最优化原理。可以通俗地理解为子问题的局部最优将导致整个问题的全局最优，即问题具有最优子结构的性质，也就是说一个问题的最优解只取决于其子问题的最优解，非最优解对问题的求解没有影响。2、无后效性原则：所谓无后效性原则，指的是这样一种性质：某阶段的状态一旦确定，则此后过程的演变不再受此前各状态及决策的影响。也就是说，“未来与过去无关”，当前的状态是此前历史的一个完整总结，此前的历史只能通过当前的状态去影响过程未来的演变

6、。具体地说，如果一个问题被划分各个阶段之后，阶段I中的状态只能由之前的有限步状态通过状态转移方程得来，与其他状态没有关系，特别是与未发生的状态没有关系，这就是无后效性。在这里，-21-动态规划算法及算法思路的分析石家庄二中贾志豪特别要注意的是：对于某些不满足无后效性原则的状态表示，可以通过更改状态表示的维数（一般为增加数组维数），使得状态表示满足无后效性（这一点在后面的例题中会具体介绍）。但不可避免的，在增加维数的同时，会增加问题的时间、空间复杂度。这就是在动态规划算法中的一个弊端。在这里，笔者要说的是，在某些情况下，动态规划并不一定是最好的算法，甚至不能算是一

7、个较好的算法。希望读者在后面的问题中能用心体会。二解题时的思路——如何向动态规划上靠拢　　很自然的，大家在思考某一道题，会先考虑它能不能用动态规划解题，动态规划在这道题中是不是一个较优的算法。而一部分人思考的过程是：这一道题如果我能想出状态表示和状态转移方程，那么它就可以使用动态规划，否则就不能。读到这里大家可能会笑，但大部分初学动态规划的人在思考问题时都会是这种思路。其实，动态规划在一道题中的价值有无、价值大小是有规律可循的。下面笔者就介绍一种较为行之有效的解题思路。　　1、分析问题是否符合动态规划的原则2、确定使用动态规划时的状态和转态转移３、估计程序的时间

8、、空间复杂度及编程的难易