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1、计算方法实验报告（三）（一）数值微分法一、实验问题已知函数y=f(x)的数值如下，利用两点和三点数值微分公式计算f'1和f”(1)。x0.60.80.911.11.11.4y0.73600.83650.909511.11051.24461.6017二、问题的分析（描述算法的步骤等）基本的数值微分公式：fkx≈Lnkx=i=0nlikxfxi其中节点等距（xi=x0+ih）且x为节点的特殊情形两点数值微分公式：f'(x0)=(y1-y0)/hf'(x1)=(y1-y0)/h三点数值微分公式：f'(x1)=
2、(y2-y0)/2h二阶数值微分公式：f''(x1)=(y2-2y1+y0)/h2三、程序设计两点数值微分公式——f0.m,f1.mf0.m:functiony0=f0(x1,x2,h)y0=(x1-x2)/h;endf1.m:functiony1=f1(x1,x2,h)y1=(x1-x2)/h;end三点数值微分公式——f11.mfunctiony11=f11(x2,x0,h)y11=(x2-x0)/(2*h);end二阶数值微分公式——f2.mfunctionyy=f2(x2,x1,x0,h)yy=
3、(x2-2*x1+x0)/(h*h);end得出f'1和f”(1)结果的程序——weifen.m：x=[0.60.80.911.11.21.4];y=[0.73600.83650.909511.11051.24461.6017];fori=1:3h=0.1*2^(i-1);d(1)=f0(y(4+i),y(4),h);d(2)=f1(y(4),y(4-i),h);d(3)=f11(y(4+i),y(4-i),h);d(4)=f2(y(4+i),y(4),y(4-i),h);fprintf('h=%.1f
4、时：',h);d=vpa(d,5)end四、计算结果五、结果分析随着h的增大，数值微分公式的截断误差越来越大。同时，在两点误差公式中很明显计算f'(x0)的误差与f'(x1)的误差的绝对值基本相等，同时在三点数值微分公式中求f'x1的误差在三个求一阶导数的公式中最小。六、实验的总结与体会数值微分公式的截断误差是随步长h的减小而减小的，但由于近似式本身均用h作除数，所以函数值计算的舍入误差，将随h的减小而给导数的计算带来越来越大的误差。因此h的选取不能过小，原则上不能使舍入误差超过截断误差。在求解微分方程
5、时，很明显三点数值微分方程结果更加精确。（二）变步长积分法一、实验问题用变步长辛浦生积分公式和龙贝格积分法计算下列积分。（1）0π2sinxxdx(2)01dx1+x二、问题的分析（描述算法的步骤等）（1）变步长辛浦生积分法步骤，要求误差小于ε令h=b-a2,s0⇐fa+fb,s1⇐fa+hs2⇐0,s⇐s0+4s1h3,n⇐1L:令h⇐h2,n⇐2n,s2⇐s1+s2,s1⇐0对i=1~n令s1⇐s1+fa-h+2ih令s*⇐s0+4s1+2s2h3,D⇐s*-s15,s⇐s*若D>ε则转L，否则输出
6、s并停止计算（2）龙贝格积分法步骤，要求误差小于ε：1令h⇐b-a,T0⇐fa+fbh2,n⇐122对i=1∼10做令h⇐h2,n⇐2n,Ti⇐0对k=1∼n令Ti⇐Ti+fa+2ih-h令Ti⇐Ti-12+Tih,c⇐4对j=1∼i做令D⇐(Ti+1-j-Ti-j)/(c-1)令Ti-j⇐Ti+1-j+D,c⇐4c若Ｄ＜ε 则输出Ｔi-j并停止计算3打印失败信息，输出T0并停止计算三、程序设计变步长辛浦生公式的函数——Simpson.mfunctionSvalue=Simpson(a,b,m)h=(b
7、-a)/2;ss=f(a)+f(b);sss=f(a+h);ssss=0;s=(ss+4*sss)*(h/3);n=1;whilem>=nh=h/2;n=2*n;ssss=sss+ssss;sss=0;fori=1:n;sss=sss+f(a-h+2*i*h);ends=(ss+4*sss+2*ssss)*(h/3);endSvalue=vpa(s,7);end龙贝格积分法——Romberg.mfunctionRvalue=Romberg(a,b,m)h=b-a;R(1,1)=(ff(a)+ff(b))
8、*(h/2);n=1;j=0;whilem>=(n/2)j=j+1;h=h/2;T=0;fori=1:nx=a+h*(2*i-1);T=T+ff(x);endR(j+1,1)=R(j,1)/2+h*T;fork=1:jR(j+1,k+1)=R(j+1,k)+(R(j+1,k)-R(j,k))/(4^k-1);endn=2*n;endR=vpa(R,6)Rvaule=vpa(R(j+1,j+1),6)nend第（1）题中的函数——f.mfun
