八年级上册角平分线的性质和判定

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1、角平分线的性质[问题]如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线，你能说明它的道理吗？[操作]作已知角的平分线的方法：已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）作射线OC，射线OC即为所求．[探索]按以下步骤折纸将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能

2、得出什么结论？[证明]已知：OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E求证：PD=PE证明：[几何语言描述]在的平分线上于，于þ角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【例1】如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，这个集贸市场应建于何处？【例2】如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．【例3】如图，是的外角的平分线上一点，于，于，且交的延长线于。求证：。【例4】已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD

3、=CD，求证：∠B=∠C．【例5】如图，在△ABC中，已知AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．求证：AB=AC+CD．【例6】如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论【课后作业】1、如图所示，∠B＝∠C＝90°，根据角平分线的性质填空：（1）若∠1＝∠2，则________＝________；（2）若∠3＝∠4，则________＝________．2、如图所示，下列推理中正确的个数是（　　）

4、①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD=PE；②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD=PE；③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD=PE．A．0个B．1个C．2个D．3个3、如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE垂直AB于E，若DE=1.5cm，则BC=（　　）A．3cmB．7.5cmC．6cmD．4.5cm4、如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．下列结论中错误的是（　　）A．PC＝PDB．OC＝ODC．∠CPO＝∠DPOD．OC＝

5、PC（第2题）（第3题）（第4题）5、如图，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝5cm，BD＝3cm，则点D到AB的距离为（）A．5cmB．3cmC．2cmD．不能确定6、如图，△ABC中，∠B、∠C的平分线交于点O，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，则OD与OE的大小关系是（）A．OD＞OEB．OD＝OEC．OD＜OED．不能确定7、如图，AB∥CD，O为∠BAC，∠ACD平分线的交点，OE⊥AC交AC于E，且OE=2，则AB与CD之间的距离等于________8、如图，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，则①AC平分∠BAD；②CA平分

6、∠BCD；③AC平分BD；④BD平分∠ADC中，正确的结论是（　　）A．①②B．①②③C．①②④D．只有①（第5题）（第6题）（第7题）（第8题）9、如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，点F在AC上，BD＝DF．求证：（1）DC＝DE；（2）CF＝EB．10、如图，四边形ABCD中，AB=AD,CD=CD，点P是对角线AC上一点，PE⊥BC于E,PF⊥CD于F，求证：PE=PF11、如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠A内一点，且AB=AD，BC=DC，CE⊥AD，CF⊥AB，垂足分别为E、F．求证：CE=CF．

7、12、已知，（如图）在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BF上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN13、如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，三角形ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，求DE的长。14、如图1，在△ABC中，∠A，∠B的角平分线交于点O，过O作OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB与R，AB=7，BC=8,AC=9（1.）求BP、CQ、AR的长。（2）.如图2若CD⊥BO于D求证∠OCD=∠A（3）.如图3若BO的延长线叫AC于E，CO的延长线叫AB于F，若∠A=60°，求证：OE=O

8、F.（图1）（图2）（图3）第十讲角平分线的判定[思考]角平分线上