椭圆题型完美归纳(经典)

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1、椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义：把平面内与两个定点的距离之和等于常数（大于）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点，两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程：（＞＞0）（＞＞0）焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形，可设方程为不必考虑焦点位置，求出方程。3.范围.椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形里．

2、x

3、≤a，

4、y

5、≤b．4.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的．坐标轴是椭圆的对称轴．原点是椭圆的对称中心．椭圆的对称中心叫做椭圆的中心．5.顶点椭圆有四个顶点：A1(－a,0)、A2(a,0)、B1(0,－b)、B2(0,b)．线段A1A2、B

6、1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.

7、B1F1

8、＝

9、B1F2

10、＝

11、B2F1

12、＝

13、B2F2

14、＝a．在Rt△OB2F2中，

15、OF2

16、2＝

17、B2F2

18、2－

19、OB2

20、2，即c2＝a2－b2．6.离心率7.椭圆(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式,(,).9.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。考点一定义及其应用例1.已知一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；例2.如果方程表示椭圆，则的取值范围是例3.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两

21、点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；例4.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；考点二椭圆的方程例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；例2.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例3.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；例1.在中，所对的三边分别为，且，求满足且成等差数列时顶点的轨迹；例2.已知轴上一定点，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程；例3.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹

22、方程；例4.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程；考点三焦点三角形问题例1.已知椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；考点四椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为，若四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.若椭圆的离心率为，则；例4.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为考点五求范围例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；考点六.椭圆的第二定义的应用例1.方程所表示的曲线是例2.求经过点，以轴为

23、准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为例4．已知椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，若能找到，求出该点的坐标，若不能找到，请说明理由。例5．已知椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标．考点七求离心率例1.椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率例2.若为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为；考点八椭圆参数方程的应用例

24、1.椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；考点九直线与椭圆的关系（1）直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离？例2.曲线（）与连结，的线段没有公共点，求的取值范围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围。（二）弦长问题例1.已知椭圆，是轴正方向上的一定点，若过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标。例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，若，为坐标原点，的斜率为，求的值。例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆

25、交于两点，若的面积是20，求直线方程。（三）弦所在直线方程例1.已知椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.（1）用直线的斜率表示的面积；（2）当的面积最大时，求椭圆E的方程．例4.已知是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点？请证明你的结论。（四）关于直线对称问题例1.已知椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同