椭圆题型完美归纳(经典)

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1、椭圆题型归纳一、知识总结1.椭圆的定义:把平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做焦点,两焦点的距离叫做焦距(设为2c).2.椭圆的标准方程:(>>0)(>>0)焦点在坐标轴上的椭圆标准方程有两种情形,可设方程为不必考虑焦点位置,求出方程。3.范围.椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形里.

2、x

3、≤a,

4、y

5、≤b.4.椭圆的对称性椭圆是关于y轴、x轴、原点都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴.原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.5.顶点椭圆有四个顶点:A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b).线段A1A2、B

6、1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴.。长轴的长等于2a.短轴的长等于2b.

7、B1F1

8、=

9、B1F2

10、=

11、B2F1

12、=

13、B2F2

14、=a.在Rt△OB2F2中,

15、OF2

16、2=

17、B2F2

18、2-

19、OB2

20、2,即c2=a2-b2.6.离心率7.椭圆(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上任意一点,则椭圆的焦点角形的面积为.8.椭圆(a>b>0)的焦半径公式,(,).9.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则,即。考点一定义及其应用例1.已知一个动圆与圆相内切,且过点,求这个动圆圆心的轨迹方程;例2.如果方程表示椭圆,则的取值范围是例3.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两

21、点,则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于;例4.设圆的圆心为,是圆内一定点,为圆周上任意一点,线段的垂直平分线与的连线交于点,则点的轨迹方程为;考点二椭圆的方程例1.已知椭圆以坐标轴为对称轴,且长轴是短轴的3倍,并且过点,求椭圆的方程;例2.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点、,求椭圆的方程;例3.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程;注:与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为;例1.在中,所对的三边分别为,且,求满足且成等差数列时顶点的轨迹;例2.已知轴上一定点,为椭圆上任一点,求的中点的轨迹方程;例3.设动直线垂直于轴,且与椭圆交于两点,点是直线上满足的点,求点的轨迹

22、方程;例4.中心在原点,一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为,求此椭圆的方程;考点三焦点三角形问题例1.已知椭圆上一点的纵坐标为,椭圆的上下两个焦点分别为、,求、及;考点四椭圆的几何性质例1.已知是椭圆上的点,的纵坐标为,、分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为,则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为,若四边形的内切圆恰好过焦点,则椭圆的离心率为;例3.若椭圆的离心率为,则;例4.若为椭圆上一点,、为其两个焦点,且,,则椭圆的离心率为考点五求范围例1.方程表示准线平行于轴的椭圆,求实数的取值范围;考点六.椭圆的第二定义的应用例1.方程所表示的曲线是例2.求经过点,以轴为

23、准线,离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程;例3.椭圆上有一点,它到左准线的距离等于,那么到右焦点的距离为例4.已知椭圆,能否在此椭圆位于轴左侧的部分上找到一点,使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项,若能找到,求出该点的坐标,若不能找到,请说明理由。例5.已知椭圆内有一点,、分别是椭圆的左、右焦点,点是椭圆上一点.求的最小值及对应的点的坐标.考点七求离心率例1.椭圆的左焦点为,,是两个顶点,如果到直线的距离为,则椭圆的离心率例2.若为椭圆上一点,、为其两个焦点,且,,则椭圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于两点,,且,则椭圆的离心率为;考点八椭圆参数方程的应用例

24、1.椭圆上的点到直线的距离最大时,点的坐标例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆,求的取值范围;考点九直线与椭圆的关系(1)直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时,直线与椭圆相切、相交、相离?例2.曲线()与连结,的线段没有公共点,求的取值范围。例3.过点作直线与椭圆相交于两点,为坐标原点,求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值。例4.求直线和椭圆有公共点时,的取值范围。(二)弦长问题例1.已知椭圆,是轴正方向上的一定点,若过点,斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为,求点的坐标。例2.椭圆与直线相交于两点,是的中点,若,为坐标原点,的斜率为,求的值。例3.椭圆的焦点分别是和,过中心作直线与椭圆

25、交于两点,若的面积是20,求直线方程。(三)弦所在直线方程例1.已知椭圆,过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是;例2.椭圆中心在原点,焦点在轴上,其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点,且C分有向线段的比为2.(1)用直线的斜率表示的面积;(2)当的面积最大时,求椭圆E的方程.例4.已知是椭圆上的三点,为椭圆的左焦点,且成等差数列,则的垂直平分线是否过定点?请证明你的结论。(四)关于直线对称问题例1.已知椭圆,试确定的取值范围,使得椭圆上有两个不同

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