内含收益率计算方法

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1、内含收益率计算方法　【摘要】本文通过分析内含收益率计算方法的净现值函数及其方程，通过同解变形并利用逐步求导降阶、逐步回溯的办法最终求得符合要求的结果；分析了k的取值域及其对有关函数值的影响，并讨论了多个解的选取问题。　　【关键词】财务管理；内含收益率法；内含收益率法的解　　　　一、内含收益率计算方法　　　　在有关资金流量分析等方面，常涉及到应用内含收益率计算方法来计算内含收益率、资金成本率等，那么内含收益率计算方法的取值域怎样？内含收益率计算方法的计算结果是否只有一个解呢？……　　现假设有已知资金流系列A1、A2、……、An-1、An，要求其内含收益率，除这n个资金流量本身应具有流入流出不

2、同流量方向外（以下不再提该条件），另需满足所有资金流入的现值与所有资金流出的现值相等。即实际上是把这n个资金流按贴现率k换算成现值，如下式所示：　　g（k）=A1+A2/（1+k）+A3/（1+k）2+……+An-1/（1+k）n-2+An/（1+k）n-1　　要求内含收益率，即求使得g（k）=0的k，那么，如何来求方程g（k）=0的解呢？　　　　二、求解方法　　　　可考虑先将该方程进行变换，由于（1+k）≠0，且k>-1，k∈（-1，+∞）（k肯定不能等于-1，一般情况下k也不取小于-1，因为这样会改变各资金流量加项自身的已有正负符号，且有的项变符号，有的项不变符号，与资金流量原有

3、的方向意义不完全相符。当然若其他场合k可以取除-1以外的任何取值，则也可采用本文的求解方法），因此，可在g（k）=0方程的两边同乘（1+k）n-1，得如下式所示的方程f（k）=0，该方程与g（k）=0有同解。　　f（k）=A1（1+k）n-1+A2（1+k）n-2+……+An-1（1+k）+An=0　　那么，如何来求出f（k）=0高阶方程的解呢？一种方法是求出k在其取值域内对应的“所有”的f（k）值，并判断是否等于零。这种方法利用计算机求解较方便，但可能运算量较大（经检验，确实如此）。　　此处讨论另外一种方法——逐步求导降阶法，可考虑对f（k）求一阶导数并令其等于零，目的是求出各极值点，则

4、有下式：　　f'（k）=（n-1）A1（1+k）n-2+（n-2）A2（1+k）n-3+……+An-1=0　　要求解f'（k）=0，这又是一个高阶方程，难以求解，是否可以考虑对f'（k）=0再求一阶导数f''（k）并令其等于零，来求出函数f'（k）=0的极值点呢？事实上是可以的，因为f'（k）=0较f（k）=0已降了一阶，而f''（k）=0较f'（k）=0又降了一阶，若逐步这样下去，则会有以下几式：　　f''（k）=（n-1）（n-2）A1（1+k）n-3+（n-2）（n-3）A2（1+k）n-4　　+……+An-2=0　　……　　f（n-3）（k）=（n-1）（n-2）·……·3·A1（

5、1+k）2+（n-2）（n-3）·……　　·2·A2（1+k）+A3=0　　f（n-2）（k）=（n-1）（n-2）·……·3·2·A1（1+k）+（n-2）（n-3）　　·……·2·1·A2=0　　方程f（n-2）（k）=0求解的结果是：　　k0=（n-2）（n-3）·……·2·1·A2/[（n-1）（n-2）·……·3·2·A1]-1　　若将该结果带入到f（n-3）（k）=0中来考虑求解该方程，则方程　　f（n-2）（k）=0的解k0将方程f（n-3）（k）=0中k的取值域（-1，+∞）分为两部分，（-1，k0）和[k0，+∞），或（-1，k0]和（k0，+∞）。确定了这两个取值域后，

6、又由于k0点是极值点，因此，函数f（n-3）（k）在两个取值域范围内与横轴最多有两个交点，只要把交点求出来，所求的交点就是f（n-4）（k）的极值点，这样逐步下去，可以最终求解出方程f（k）=0的解，而方程f（k）=0的解就是方程g（k）=0的解。　　　　三、实例应用　　　　例1：各时刻点有资金流量A1、A2、A3、A4、A5、A6共6个，则可以求出f（4）（k）=0、f（3）（k）=0、f''（k）=0、f'（k）=0、f（k）=0的解如表1所示，那么，f（k）=0的解有3个，且在3个解中，有两个是负值，一个是正值。（表1）　　　　表2是验证f（k）=0的三个解k1、k2、k3也是方程g

7、（k）=0的解。　　　　四、分析　　　　在上例中，如何来理解这三个解呢？是否这三个解都适合六个资金流量的经济意义呢？为了能够更清楚k对g（k）、f（k）的影响，可以将k在其取值域范围内对f（k）、g（k）的影响情况列于如表3、表4。　　通过表3、表4可知，在k的取值域内，当k∈（-1，0）时，f（k）前面的资金流量被缩小，g（k）后面的资金流量被放大；当k∈（0，+∞）时，f（k）前面的资金流量被放大，g（k）后面的资金