抽象函数奇偶性的判定

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1、专题一抽象函数奇偶性的判定及应用探究一：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题①，满足，如何证明为奇函数？②，满足，如何证明为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题①若且、证明其单调性②若、证明其单调性探究二：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题一、判断单调性和奇偶性1.判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5，那么在区间上是A.增函数且最小值为B.增函数且最大值为C.减函数且最小值为D.减函数且最大值为分

2、析：画出满足题意的示意图，易知选B。例2．偶函数在上是减函数，问在上是增函数还是减函数，并证明你的结论。分析：如图所示，易知在上是增函数，证明如下：任取因为在上是减函数，所以。又是偶函数，所以，从而，故在上是增函数。2.判断奇偶性根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求与的关系。例3．若函数与的图象关于原点对称，判断：函数是什么函数。解：设图象上任意一点为P（）与的图象关于原点对称，关于原点的对称点在的图象上，又即对于函数定义域上的任意x都有，所以是偶函数。二、证明单调性和奇偶性1.证明单调性例4．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R

3、上为减函数。证明：对一切有。且，令，得，现设，则，，而，设且，则，即为减函数。2.证明奇偶性例5．已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。分析：在中，令，得令，得于是故是偶函数。三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例6．已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。解：是偶函数，且在（0，1）上是增函数，在上是减函数，由得。（1）当时，，不等式不成立。2）当时，（3）当时，

4、综上所述，所求的取值范围是。四、不等式1.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例7．已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。解：设且则，即，故为增函数，又因此不等式的解集为。2.讨论不等式的解求解这类问题利用函数的单调性进行转化，脱去函数符号。例8，.已知是定义在上的奇函数，若，且时，恒有.（1）判断在上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式五、比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解。例9，

5、已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。分析：且，又时，是增函数，是偶函数故1.对于定义在上的函数，给出三个命题：（1）若，则是偶函数；（2）若，则不是偶函数；（3）若，则一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________2.下列命题中，说法正确的是____________（1）若定义在上的函数满足，则函数是上的单调增函数；（2）若定义在上的函数满足，则函数不是上的单调减函数；（3）若定义在上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；（4）若定义在上的函数

6、在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是上的单调增函数；变式：若定义在上的函数对任意的都有成立，且当时，（1）求证：是奇函数；（2）求证：是上的增函数；函数f(x)，满足都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-3,（1）判断函数f(x)-3的奇偶性并予以证明⑵若f(x)最大值为M，最小值为m，求M+m分析;恰当赋值，用定义可证奇偶性，应用奇偶性可求M+m解析；令则f(0+0)=f(0)+f(0)-3得，令则f(x-x)=f(x)+f(-x)-3得f(x)+f(-x)=6，令则所以f(x)-3为奇函数。⑵，，为奇函数图像关于原点对称

7、，所以点评:奇偶性定义是判断抽象函数奇偶性的重要方法，恰当赋值找出f(x)+f(-x)=6是关键2，函数f(x)，满足（1）求的值，⑵判断并证明f(x)的奇偶性解析；令则，令则⑵=得再令，所以f(x)为奇函数点评:要判断f(x)的奇偶性必先求出，而把1写成是关键3，定义在R上的函数f(x)满足且在上只有，判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；f(x)在上只有令则所以，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数。点评:判定一个命题不成立，只需举出反例即可。4，已知定义在R上的函数f(x)满足条件，且函数是奇函数，判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；因为是奇函数

8、，所以，用替代得又所以f(x)为偶函数5，定义在R上的函数f(x)满足:判断f(x)的奇偶性并说明理由解析；