垂径定理—知识讲解(提高)

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时间:2018-11-15

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1、垂径定理—知识讲解(提高)【学习目标】1.理解圆的对称性;2.掌握垂径定理及其推论;3.学会运用垂径定理及其推论解决有关的计算、证明和作图问题.【要点梳理】知识点一、垂径定理1.垂径定理  垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.2.推论  平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.                     要点诠释: (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论,即   (2)这里的直径也可以是半径,也可以是过圆心的直线或线段.知识点二、垂径定理的拓展根据圆

2、的对称性及垂径定理还有如下结论:(1)平分弦(该弦不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧;(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等.要点诠释:在垂径定理及其推论中:过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,在这五个条件中,知道任意两个,就能推出其他三个结论.(注意:“过圆心、平分弦”作为题设时,平分的弦不能是直径)【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计

3、算与证明  1.如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,已知CE=1,ED=3,则⊙O的半径是.4【答案】.【解析】作OM⊥AB于M、ON⊥CD于N,连结OA,∵AB=CD,CE=1,ED=3,∴OM=EN=1,AM=2,∴OA=.【点评】对于垂径定理的使用,一般多用于解决有关半径、弦长、弦心距之间的运算(配合勾股定理)问题.举一反三:【变式1】如图所示,⊙O两弦AB、CD垂直相交于H,AH=4,BH=6,CH=3,DH=8,求⊙O半径.【答案】如图所示,过点O分别作OM⊥

4、AB于M,ON⊥CD于N,则四边形MONH为矩形,连结OB,∴,,∴在Rt△BOM中,.【高清ID号:356965关联的位置名称(播放点名称):例2-例3】【变式2】如图,AB为⊙O的弦,M是AB上一点,若AB=20cm,MB=8cm,OM=10cm,求⊙O的半径.4【答案】14cm.【高清ID号:356965关联的位置名称(播放点名称):例2-例3】 2.已知:⊙O的半径为10cm,弦AB∥CD,AB=12cm,CD=16cm,求AB、CD间的距离.【思路点拨】在⊙O中,两平行弦AB、CD间的

5、距离就是它们的公垂线段的长度,若分别作弦AB、CD的弦心距,则可用弦心距的长表示这两条平行弦AB、CD间的距离.【答案与解析】(1)如图1,当⊙O的圆心O位于AB、CD之间时,作OM⊥AB于点M,并延长MO,交CD于N点.分别连结AO、CO.    ∵AB∥CD    ∴ON⊥CD,即ON为弦CD的弦心距.    ∵AB=12cm,CD=16cm,AO=OC=10cm,             =8+6     =14(cm)    图1图2(2)如图2所示,当⊙O的圆心O不在两平行弦AB、CD

6、之间(即弦AB、CD在圆心O的同侧)时,     同理可得:MN=OM-ON=8-6=2(cm)     ∴⊙O中,平行弦AB、CD间的距离是14cm或2cm.【点评】解这类问题时,要按平行线与圆心间的位置关系,分类讨论,千万别丢解.举一反三:【变式】在⊙O中,直径MN⊥AB,垂足为C,MN=10,AB=8,则MC=_________.【答案】2或8.类型二、垂径定理的综合应用3.要测量一个钢板上小孔的直径,通常采用间接的测量方法.如果用一个直径为10mm的标准钢珠放在小孔上,测得钢珠顶端与小孔

7、平面的距离h=8mm(如图所示),求此小孔的直径d.4【思路点拨】此小孔的直径d就是⊙O中的弦AB.根据垂径定理构造直角三角形来解决.【答案与解析】过O作MN⊥AB,交⊙O于M、N,垂足为C,则,OC=MC-OM=8-5=3mm.在Rt△ACO中,AC=,∴AB=2AC=2×4=8mm.答:此小孔的直径d为8mm.【点评】应用垂径定理解题,一般转化为有关半径、弦、弦心距之间的关系与勾股定理的运算问题.4.不过圆心的直线l交⊙O于C、D两点,AB是⊙O的直径,AE⊥l于E,BF⊥l于F.(1)在下

8、面三个圆中分别画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形;(2)请你观察(1)中所画图形,写出一个各图都具有的两条线段相等的结论(OA=OB除外)(不再标注其他字母,找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中,不写推理过程);(3)请你选择(1)中的一个图形,证明(2)所得出的结论.【答案与解析】(1)如图所示,在图①中AB、CD延长线交于⊙O外一点;在图②中AB、CD交于⊙O内一点;在图③中AB∥CD.4

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