热统1-3章答案

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1、1.1试求理想气体的体胀系数,压强系数和等温压缩系数。解：已知理想气体的物态方程为　（1）由此易得　（2）　（3）　　（4）1.2证明任何一种具有两个独立参量的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数，根据下述积分求得：如果，试求物态方程。解：以为自变量，物质的物态方程为其全微分为　　（1）全式除以，有根据体胀系数和等温压缩系数的定义，可将上式改写为（2）上式是以为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有（3）若，式（3）可表为（4）选择图示的积分路线，从积分到，再积分到（），相应地体积

2、由最终变到，有即（常量），或　　　　（5）式（5）就是由所给求得的物态方程。确定常量C需要进一步的实验数据。1.3在和1下，测得一铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为可近似看作常量，今使铜块加热至。问：（a）压强要增加多少才能使铜块的体积维持不变？（b）若压强增加100，铜块的体积改变多少？解：（a）根据1.2题式（2），有　　　（1）上式给出，在邻近的两个平衡态，系统的体积差，温度差和压强差之间的关系。如果系统的体积不变，与的关系为　　（2）在和可以看作常量的情形下，将式（2）积分可得　（3）将式（2

3、）积分得到式（3）首先意味着，经准静态等容过程后，系统在初态和终态的压强差和温度差满足式（3）。但是应当强调，只要初态和终态是平衡态，两态间的压强差和温度差就满足式（3）。这是因为，平衡状态的状态参量给定后，状态函数就具有确定值，与系统到达该状态的历史无关。本题讨论的铜块加热的实际过程一般不会是准静态过程。在加热过程中，铜块各处的温度可以不等，铜块与热源可以存在温差等等，但是只要铜块的初态和终态是平衡态，两态的压强和温度差就满足式（3）。将所给数据代入，可得因此，将铜块由加热到，要使铜块体积保持不变，压

4、强要增强（b）1.2题式（4）可改写为　（4）将所给数据代入，有因此，将铜块由加热至，压强由增加，铜块体积将增加原体积的倍。1.4简单固体和液体的体胀系数和等温压缩系数数值都很小，在一定温度范围内可以把和看作常量.试证明简单固体和液体的物态方程可近似为解:以为状态参量，物质的物态方程为根据习题1.2式（2），有（1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分，在和可以看作常量的情形下，有（2）或（3）考虑到和的数值很小，将指数函数展开，准确到和的线性项，有（4）如果取，即有（5）1.5描述金属丝的几何参量是

5、长度，力学参量是张力J，物态方程是实验通常在1下进行，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为等温杨氏模量定义为其中是金属丝的截面积，一般来说，和是T的函数，对J仅有微弱的依赖关系，如果温度变化范围不大，可以看作常量，假设金属丝两端固定。试证明，当温度由降至时，其张力的增加为解：由物态方程　（1）知偏导数间存在以下关系：　（2）所以，有　　　　　　　　　　（3）积分得　（4）与1.3题类似，上述结果不限于保持金属丝长度不变的准静态冷却过程，只要金属丝的初态是平衡态，两态的张力差就满足式（4），与经历的过程无关

6、。1.6一理想弹性线的物态方程为其中是长度，是张力J为零时的L值，它只是温度T的函数，b是常量.试证明：（a）等温扬氏模量为在张力为零时，其中A是弹性线的截面面积。（b）线胀系数为其中（c）上述物态方程适用于橡皮带，设，试计算当分别为和时的值，并画出对的曲线.解:（a）根据题设，理想弹性物质的物态方程为（1）由此可得等温杨氏模量为　　　　　（2）张力为零时，（b）线胀系数的定义为由链式关系知　　（3）而所以　　　　（4）（c）根据题给的数据，对的曲线分别如图1-2（a），（b），（c）所示。1.7抽成真

7、空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界压强时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能与原来在大气中的内能之差为，其中是它原来在大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能与其原来在大气中的内能由式（1.5.3）　（1）确定。由于过程进行得很迅速，过程中系统与外界没有热量交换，过程中外界对系统所做的功可以分为和两部分来考虑。一方面，大气将系统压入小匣，使其在大气中的体积由变为零。由于小匣很小，在将气体压入小匣的

8、过程中大气压强可以认为没有变化，即过程是等压的（但不是准静态的）。过程中大气对系统所做的功为另一方面，小匣既抽为真空，系统在冲入小匣的过程中不受外界阻力，与外界也就没有功交换，则因此式（1）可表为　　（2）如果气体是理想气体，根据式（1.3.11）和（1.7.10），有　　（3）（4）式中是系统所含物质的量。代入式（2）即有　　　（5）活门是在系统的压强达到时关上的，所以气体在小匣内的压强也可看作，其物态方程为　　　（6）与式（3）比较，知