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时间:2018-11-15
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1、判断三角形形状 解三角形是高考考察的重要内容,借助三角变换、正余弦定理和向量解与三角形有关的问题是高考命题的新趋势。而判断三角形形状也是高考命题的重点. 一、运用三角函数的公式判断三角形形状 例1.在△ABC中,sinBsinC=cos2,则此三角形是(). A.等边三角形B.三边不等的三角形 C.等腰三角形D.以上答案都不对 解析:利用倍角公式和两角和(差)公式化简判断. 解:选C.∵sinBsinC=cos2,∴sinBsinC=, ∴2sinBsinC=1+cosA,∵在△ABC中,A+B+C=π,∴2=1-cos(B+C),∴2sinBsinC=1-cosBc
2、osC+sinBsinC,∴sinBsinC+cosBcosC=1,∴cos(B-C)=1,∴在△ABC中,B-C=0,∴B=C,∴△ABC是等腰三角形. 2.设A、B、C是△ABC的三个内角,且tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根,那么△ABC是 A.钝角三角形B.锐角三角形 C.等腰直角三角形D.等边三角形 解析:利用二次函数的韦达定理和正切的两角和公式化简判断. 解:选A.∵tanA、tanB是方程3x2-5x+1=0的两个实根,∴,∵4tan(A+B)===,∴tanC=-tan(A+B)=-,∴△ABC是钝角三角形. 点评:1.运用三角函数公式
3、进行化简,其中往往用三角形内角和定理A+B+C=π通过诱导公式转化为一个角.然后通过这个角的值判断三角形的形状. 2.而三角形内角和定理A+B+C=π一方面可转化角, 如sinA=sin(B+C),cosA=-cos(B+C),sin=cos,cos=sin,另一方面可判断三个内角的范围不能超出(0,)。 二、运用正弦定理和余弦定理判断三角形形状 例2.已知,判断ΔABC的形状. 解析:将所给等式中的角换算成边或将边全部转化为角进行判断。 解:方法一:∵ ① ∵ ∴①式等价于 ∴ ∴ ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 方法二:设,(显然k
4、0)则4 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴△ABC是等腰三角形或直角三角形. 点评:(1)已知某条件,要判断三角形形状,一般将条件转换成只含边或只含角的式子. (2)由于三角形各边和它所对角的正弦比相等,故可设比值为一个值k,这时可使解题过程简化.实际上,这一比 值为三角形的外接圆直径2R,即,故正弦定理的形式也可写为:它在解决某些问题时可使解题过程简单化.然后利用三角函数知识进行化简,其中往往用到三角形内角和定理A+B+C =π。利用,,,可将有关三角形中的角的余弦转化为边的 关系,然后充分利用代数知识来解决问题用. 三、运用向量知识判断三角形形状 例3
5、.1.在△ABC中,且,则△ABC的形状是() A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形 解析:利用向量数量积的性质判断.4 解:选B.因为,所以⊥,,则△ABC是直角三角形. 2.三角形ABC中,设=,=,=,若•(+),则三角形 AB是() A.直角三角形B.锐角三角形 C.钝角三角形D.无法确定其形状 解析:利用向量的加法法则和向量数量积公式判断. 解:选C.因为•(+),所以•<0,所以cosA<0,即cosA<0,所以△ABC是钝角三角形. 3.平面上不共线的4个点A、B、C、D,若 ()R
6、26;(-)=0,则△ABC是() A.直角三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.等边三角形 解析:利用向量的加减法则和向量数量积公式判断. 解:选B.因为()•(-)=0,()•(-)=0, (+)•(-)=0,=,所以,所以△ABC是等腰三角形. 点评:1.由向量的数量积公式可以将向量转化为三角形的边及夹角,利用角余弦值的符号判断角是锐角、直角、钝角,即而判断出三角形的形状. 2.当时,夹角为直角;时,夹角为钝角,时,夹角为锐角. 4
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