竞赛数学的若干解题方法

《竞赛数学的若干解题方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、竞赛数学的若干解题方法　　摘要：本文主要介绍了竞赛数学的一些基本解题方法，其中包括构造法（存在性问题的构造法及构造数学建模）、反证法和数学归纳法。　　关键词：数学；竞赛；解题方法　　数学离不开解题，掌握数学的一个重要标志是善于解题，在解题过程中的有意识比赛或无意识竞争逐渐形成了现在的数学竞赛。本文将介绍竞赛数学的一些基本解题方法。　　一、构造法　　解题常在问题的给定系统里由题设推得结论。但对有些问，如存在性问题、条件与结论相对较远的问题等，直接推理不能顺利进行，因此不得不找寻某种中介工具，建立条件与结论的联系。解题的这种中介工具通常隐含在题设之中，需要去发现、解释并构造。通过

2、构造题目所没有的解题中介工具―实例、数学模型或对应关系去解决问题的方法就是构造法。　　1.存在性问题的构造性解法　　存在性问题，就是指结论中含有“存在”这一词的问题。是研究某一数学对象是否存在，或某种数学对象是否具备某一性质的问题。解决存在性问题的方法有构造性和非构造性两种。非构造性的解决方法是利用排中律（例如反证法）论证。反证法在构造证明中起着非常重要的作用。　　例1.证明：一个奇数c为合数的充要条件是存在自然数a≤■-1，使（2a-1）2+8c为平方数。4　　证充分性较简单，证明略。下面证必要性。必要性为存在性问题，可用构造法。　　设c为奇合数，则c能分解为两个大于1的奇

3、数之积，较小的记为2k-1，较大的记为m，即c=（2k-1）m，k≥2，m≥2k-1。令a=m-k+1，则a=■-k+1≤■-1≤■-1，　　且（2a-1）2+8c=（2m-2k+1）2+8（2k-1）m=[2m-（2k-1）]2+8m（2k-1）　　=[2m-（2k-1）]2　　例2.对于任何自然数，在整点平面上是否存在一个圆，使它的内部恰好有个整点？　　解讨论型的存在性问题，假设题中的圆存在，只要找出一点使得它到平面上的各个整点的距离都不等。点P（■，■）是符合条件的点。用反证法证明猜想正确。　　否则，平面上有两个不同的整点M（a，b）、N（c，d），到P点的距离相等，即

4、（a-■）2+（b-■）2=（c-■）2+（d-■）2　　化简整理，得c2+d2-a2-b2+■（b-d）=02（a-c）=0可推出a=c，b=d这与假设矛盾。我们把平面各整点到点P的距离按由近到远排列为P1，P2，…Pn，…，选择r，使■

5、bc　　分析：将求证式左边变形得　　a（b2+c2-a2）+b（a2+c2-b2）+c（a2+b2+c2）（*）　　能够联想到余弦定理，并且将（*）式转化为三角问题，利用已知的三角不等式cosA+cosB+cosC≤■可证明结论成立。　　二、反证法　　数学证明有直接证明法和间接证明法两种。反证法为间接证法的一种，是数学证明的大法。许多历史上著名的命题都是用反证法证明的。反证法被誉为“数学家最精良的一种武器”。　　例4.{an}为正数列，满足（ak+1+k）ak=1，k=1，2，…，求证对一切k∈N，ak为无理数。　　证假设存在ak=■（p，q为互质自然数），则得ak+1=■，

6、即ak+1也是有理数，令Sk表示ak的分子与分母的和，则Sk=p+q，Sk+1=q-（k-1）p。　　因为k≥1，故Sk≥Sk+1，从而Sk>Sk+1>Sk+2>…　　因为Sk，Sk+1，Sk+2，…都是整数，故一定存在Sk+1<0，即ak+1的分子与分母之和是负整数，有ak+1<0，与题设矛盾，则结论成立。　　三、数学归纳法4　　数学归纳法也是数学中最基本、最重要的方法之一，在数学各分支里都有广泛的应用。需用数学归纳法证明的一般是与自然数有关的命题，但并不是所有的与自然数有关的命题都可以，只有可以递归的命题才可用数学归纳法证明。　　例5.m，n∈N求证2mn>mn　　证：①

7、显然当m=1，n=1时，不等式成立。　　②对任意的自然数k，l，假设2kl>kl与2kl>lk成立，则　　2（k+1）l=2kl2l>kl2l=（2k）l≥（k+1）l及2k（l+1）=2kl2k=（2l）k≥（l+1）k　　即p（k+1，l）和p（k，l+1）都成立，命题得证。　　任何一种方法都有一定的适用范围，在竞赛数学中还有很多其他的解题方法，如构造法中还可以构造对应关系、染色法、赋值法等，教师应不断探索。　　参考文献：　　陈传里，张同君.竞赛数学教程[M]北京：高等教育出版社，2000.4