初中数学竞赛精品标准教程附练习08：抽屉原则

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1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（8）抽屉原则一、内容提要1，4个苹果放进3个抽屉，有一种必然的结果：至少有一个抽屉放进的苹果不少于2个（即等于或多于2个）；如果7个苹果放进3个抽屉，那么至少有一个抽屉放进的苹果不少于3个（即的等于或多于3个），这就是抽屉原则的例子。2，如果用表示不小于的最小整数，例如＝3，。那么抽屉原则可定义为：m个元素分成n个集合（m、n为正整数m>n）,则至少有一个集合里元素不少于个。　　3，根据的定义，己知m、n可求；己知，则可求的范围，例如己知＝3，那么2＜≤3；己知＝2，则

2、1＜≤2，即3＜x≤6，x有最小整数值4。二、例题例1某校有学生2000人，问至少有几个学生生日是同一天？分析：我们把2000名学生看作是苹果，一年365天（闰年366天）看作是抽屉，即把m（2000）个元素，分成n(366)个集合，至少有一个集合的元素不少于个解：∵5　　　　∴＝6　答：至少有6名学生的生日是同一天例2从1到10这十个自然数中，任意取出6个数，其中至少有两个是倍数关系，试说明这是为什么。解：我们把1到10的奇数及它们的倍数放在同一集合里，则可分为5个集合，它们是：｛1，2，4，8，｝

3、，｛3，6，｝，｛5，10｝，｛7｝，｛9｝。　∵要在5个集合里取出6个数，∴至少有两个是在同一集合，而在同一集合里的任意两个数都是倍数关系。（本题的关键是划分集合，想一想为什么9不能放在3和6的集合里）。例3袋子中有黄、红、黑、白四种颜色的小球各6个,请你从袋中取出一些球，要求至少有3个颜色相同，那么至少应取出几个才有保证。分析：我们可把4种球看成4个抽屉（4个集合），至少有3个球同颜色，看成是至少有一个抽屉不少于3个（有一个集合元素不少于3个）。解：设至少应取出x个，用｛｝表示不小于的最小整数，那

4、么｛｝＝3，　∴2＜≤3，　即8＜x≤12，　最小整数值是9。答：至少要取出9个球，才能确保有三个同颜色。例4等边三角形边长为2，在这三角形内部放入5个点，至少有2个点它们的距离小于1，试说明理由。解：取等边三角形各边中点，并連成四个小三角形（如图）它们边长等于1，　　　　　∵5个点放入4个三角形，　　　　　∴至少有2个点放在同一个三角形内，　　　　　而同一个三角形内的2个点之间的距离必小于边长1。三、练习81，初一年新生从全县17个乡镇招收50名，则至少有＿人来自同一个乡镇。2，任取30个正整数分别

5、除以7，那么它们的余数至少有＿＿个是相同的。3，在2003m3中，指数m任意取10个正整数，那么这10个幂的个位数中相同的至少于＿＿个.1，暗室里放有四种不同规格的祙子各30只，为确保取出的祙子至少有1双（2只同规格为1双）那么至少要取几只？若要确保10双呢？2，袋子里有黑、白球各一个，红、蓝、黄球各6个，请你拿出一些球，要确保至少有4个同颜色，那么最少要取几个？3，任意取11个正整数，至少有两个它们的差能被10整除，这是为什么？4，右图有3行9列的方格，若用红、蓝两种颜色涂上，则至少有2列的涂色方式

6、是一样的，试说明这是为什么。5，任意取3个正整数，其中必有两个数它们的平均数也是正整数。试说明理由。6，90粒糖果分给13个小孩，每人至少分1粒，不管怎样分，总有两人分得同样多，这是为什么？10，任意6个人中，或者有3个人他们之间都互相认识，或者有3个人他们之间都互不相识，两者必居其一，这是为什么？　　　　　　　　　　　　　　　　练习8参考答案：1.　3　　2.　5　　3.　3　　　4.　5只，23只　　5.　126.∵正整数的个位数字只有0，1，2，…9共10个，……7.      设1表示红色，2

7、代表蓝色，每列3格用2种涂色，最多只有如下8种涂法，第9列必与前8种中的一种相同8.      把正整数按奇数，偶数分为两个集合，3个正整数放入两个集合，必有一个集合中，有2个是同奇数或同偶数，……9.      如果我们给13人分配都不相同的粒数，∵1＋2＋…＋13＝91，而实际糖果只有90粒，∴必有1人要少分1粒，因而他一定与其余12人中的1个相同10.   用A，B，C，D，E，F表示6个人。A与其他5个人的关系――相识或不相识两种，必有一种不少于3人，不妨设A与B，C，D3人都相识，这时，只B

8、，C，D3人中有2人相识，则本题的结论就成立。若B，C，D3人都互不相识，那么结论也成立。所以……袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁蚁膄膀螁螃羇葿螀袅膃蒅蝿肈羆莁螈螇芁芇莄袀肄膃莄羂艿蒂莃蚂肂莈蒂螄芈芄蒁袆肀膀蒀罿袃薈葿螈聿蒄葿袁羁莀蒈羃膇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅蒁薅袇羈莇薄罿膄芃薃虿羆艿薃袁节膅薂羄肅蒃薁蚃芀荿薀螆肃芅蕿袈芈膁蚈羀肁蒀蚇蚀袄莆蚇螂肀莂蚆羅袂芈蚅蚄膈膄蚄螇羁蒂蚃衿膆莈蚂羁罿芄螁