高一《三角形中边角关系的转化》教案

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1、在数学教学中渗透转化与化归的数学思想教育广东汕头华侨中学林一平邮编515041转化与化归的数学思想是最重要的数学思想方法，几乎所有的数学问题都必须通过转化为更简单的或者我们所熟悉的数学问题加以解决．所以我们在日常教学中，必须坚持不懈、潜移默化地向学生渗透转化与化归的数学思想教育，使学生能正确地分析数学问题和解决数学问题．下面通过一个数学课例，谈谈在教学中如何渗透这种数学思想的教育．在高中《解三角形》一章书中，正、余弦定理是解三角形问题的基本定理，也是三角形中边角关系定理．我在教完这两个定理之后，引导学生进

2、行归纳：　　从上述可以看到，正、余弦定理是含有三角形的边角关系的定理，但从变式又可以得到，等式的两边各仅含有三角形的边或角，从而应用变式在解三角形问题中进行边角转化，可以将隐蔽的条件明显化，复杂的问题简单化，从而达到解决问题的目的．接着，我出示例题，对题目进行分析、引导，并与学生一起完成例题的解答．例1在中，若试判断这个三角形的形状．分析：由于给出的已知条件含有三角形的边角关系，所以可以考虑应用正、余弦定理转化为只含有边或只含有角的关系，使隐蔽的条件明显化．解法一：∵由正弦定理，得∴∴．∵、为三角形的内角

3、，　∴<<．∴∴4∴是等腰三角形．解法二：∵由余弦定理，得．∴　　∴．`∴∴是等腰三角形．变式1：在中，若，试判断这个三角形的形状．解：∵，∴显然是例1的变形．变式2:在中，若,试判断这个三角形的形状．解：由变式1易知∴是等边三角形．例2在中，，求的面积．分析：本题要求三角形的面积，而给出的条件是三边关系，可以求出三条边的长，再求一个内角，应用三角形面积公式得解．但联想到余弦定理的形式，可以考虑直接从已知条件转化为求出一个角，使解题简化．解：∵　∴．由余弦定理，得．∵　∴又∵　　∴∴．∴的面积为．问:如果

4、角不是特殊角,本题应该如何解?4答:可以应用同角三角函数关系求出的值．问:若将条件应该如何求解?答：由，可得，∴　∴∴∴改变后的条件与原条件等价．例3在中，,求的值．分析:本题要求的值,而给出的条件是三角形的边角关系,可以考虑转化为只含有角的关系．解:　∵　　∴．　∴∴∴．∵∴．　∴．　　∴．而∴为所求．评注:本题若将已知条件转化为只含有边的关系,则转化后的式子太繁,又与所求不合，所以做数学题要审时度势．例4在中,，求证:、、成等差数列．分析:本题即证,而已知条件给出三角形的边角关系,可以考虑转化为只含有

5、边的关系．证明:∵，4∴．由余弦定理，得∴．∴．　　　∴．∴、、成等差数列．评注：注意到应用正弦定理可以等价转化为所以本题也可以将已知条件转化为只含角的关系得以证明．留给学生作练习．通过本节的学习，向学生指出三角形中边角关系的相互转化，能使隐蔽的问题明显化，复杂的问题简单化．实质上，一般的数学问题，几乎都要经过转化才能得以解决，从这个意义上讲，转化与化归的数学思想方法是最重要的数学思想方法，所以我们要认真领会、掌握、应用这种数学思想方法，并通过观察、联想、等价转化这三个环节去解决数学问题．数学思想方法是数

6、学思维的基本方法．数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两个方面，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识．而在数学课上，由于能力、心理发展的限制，学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的线索，以及由此产生的解决问题的方法与策略．所以，我们在教学中应以具体数学知识为载体，重视数学思想方法的渗透，通过精心设计的学习情境与教学过程，引导学生领会蕴含在其中的数学思想方法，揭示它们的本质与内在联系．但由于数学思想只表现为一种意识，没有一种外在的固定形式，因此，我

7、们必须坚持长期渗透，才能使学生在潜移默化中达到理解和掌握．4