巧妙应用空间平行关系的传递性解题

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1、巧妙应用空间平行关系的传递性解题平行于同一条直线的两条直线互相平行是判断两条直线平行的重要方法，在空间中证明两直线6Z,6平行，由于受空间儿何体的阻隔，很难看出它们是否平行，但如果tz//c，/?//c容易看出，这样运用公理4便可证得（z///?。因此，公理4是立体几何中平性关系过渡的重要原理，即寻找第三条直线分别与前两条平行，并且这种平行关系的传递不受直线条数的限制。下面我们作简单的探究，以供同学们参考。例1:在平面几何中，经过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行，那么，这个结论在空间中是否成立。分析：本题从正而证明比较困难，可采用反证法进行证明。解：在空间中这个结论也成立

2、。下面用反证法证明：假设结论在空间屮不成立，那么，过直线6/外一点有两条直线Z?，C与U平行，即有alll'allc，由公理4知，bHc,这与/?，c•共点尸矛盾。故假设不成立。所以，该结论在空间中仍然成立。评注：一般情况下，要把平面图形中的结论推广到立体图形，需要经过证明才能使用，千万不要盲目套用。例2:己知四边形ABCZ）是空间四边形，£，//分别是边的中点，F，G分别是C6，CD上的点，K—求证：四边形是一个梯形。CBCD3分析：本题证明叫边形是梯形，需证明一组对边平行，另一组对边不相等。首先利12用平而儿何的有关知识，得到EH//BD和以及EH=-BD，FG=-BD，再利

3、川平行线的传递性得到//FG，最终得到结论。证明：如图，连结因为£//是口/lfiD的巾位线，驟™，紐=—严。又在］BC£＞屮，所以FG//BD,FG=gBD。根据平行线的传递性，EHHFG。又FG〉EH，所以叫边形是一个梯形。评注：要证明四边形是一个梯形，需证明一组对边平行且不相等，这既是梯形的定义，也暗含着是平面图形。在证明线线平行时常用到公理4的转化。例3:如图，4是平面BCD外的一点，G,//分别是MSC，MCD的重心，求证：GH//BD.分析：本题首先作出辅助面，通过辅助面找出线线平行，即付证得。证明：连结分别交5C，CD于W，/V，连结胃，G，H分别是MBC，MCZ）

4、的重心A/，7V分别是5C，CO的中点，/.MNIIBD,又•••AGAH2AMAN3•••GHIIMN，由平行线的传递性知GW//fiD.评注：辅助线而是解决有关线而问题的关键，要充分发挥辅助线、而在化空间问题为平而问题屮的转化作用。转化思想在立体儿何中具有举足轻重的作用，其主要途径是把立体儿何问题转化为平面问题来解决。A例4:如图所示，在空间四边形AfiCY）中，M、N、P、（2分别是四边形边上的点，且满足f=0=^=辽=々。CMBNBQDPD求证：M、N、P、（2叫点共面且似WP（2为平行叫边形。分析：要证明似、；V、尸、2四点共而，只需证明直线似!2与直线平行即可，这也是

5、叫边形A/TVP2为平行四边形的前提条件，所以问题就转化为利用直线的传递性，寻找第三条直线分别与所求两条直线平行。证明:AM_AQk，:.MQHBDKAM_k.MQAM_kkCNCPCN即=——BD。又L==.PN//BDR众+1NPCNNBPDBDCBk^即/VPCN+NBk+BD、:.MQIINP1MQ=NP、...M、N、P、（2四点共而且似W尸g为平行四边形评注：立体几何问题的解决要充分利用化归的思想将空间问题转化为平面问题，将未知转化为己知，转化的思想是解决立体几何的最重要方法之一。总上可得，在空间要证两条直线平行，可先证两条直线同时平行于空间同一条直线，对于多条

6、直线也同样如此，基本性质4是证明分別在两个平囬上的两条直线平行的常川工具。